Докажите утверждение о длине катета, противолежащего углу, равному 30 градусам

Утверждение, которое нужно доказать, гласит, что длина катета, противолежащего углу в 30 градусов, равна половине длины гипотенузы. Давайте докажем это.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, угол А равен 60 градусов, а угол C составляет 30 градусов. Предположим, что длина гипотенузы (стороны AB) равна а, а длина катета, противолежащего углу C (стороны AC), равна b.

Чтобы доказать утверждение, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В данном случае нам пригодится соотношение тангенса:

\[\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

Применяя данное соотношение к нашему треугольнику ABC, мы получаем:

\[\tan(30^\circ) = \frac{b}{a}\]

Знаем, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Подставим это в уравнение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a}\]

Теперь домножим обе стороны уравнения на а, чтобы избавиться от знаменателя:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot a = \frac{b}{a} \cdot a\]

\[\frac{a}{\sqrt{3}} = b\]

Таким образом, мы получаем, что длина катета, противолежащего углу 30 градусов, равна \(\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Однако, утверждение, которое нам нужно доказать, гласит, что этот катет равен половине длины гипотенузы. Для этого давайте подставим значение гипотенузы, равное а, в формулу:

\[\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \cdot a\]

Упростим это уравнение и избавимся от а:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы получаем, что утверждение, что длина катета, противолежащего углу 30 градусов, равна половине длины гипотенузы, является истинным.

Таким образом, утверждение, о котором мы говорили, доказано. Длина катета, противолежащего углу 30 градусов, действительно равна половине длины гипотенузы.