Докажите следующий факт: при условии, что a^2-5 больше a и a больше 1, следует, что a^2-5 больше

Для начала давайте разберем условия задачи и оценим, что они означают. У нас есть некоторое число $a$, которое больше 1. Условие $a^2-5$ больше $a$ означает, что разница между квадратом $a$ и пятью больше, чем само число $a$.

Чтобы доказать факт, давайте воспользуемся следующим подходом. Предположим, что $a^2-5$ не больше $a$. Тогда можно записать неравенство:

$$a^2-5\le a$$

Чтобы упростить это неравенство, давайте перенесем все члены на одну сторону:

$$a^2-a-5\le 0$$

Теперь наша цель - найти значения $a$, для которых это неравенство выполняется. Для этого давайте рассмотрим функцию $f(a)=a^2-a-5$ и проанализируем ее поведение.

Для начала найдем вершины параболы $f(a)$. Вершина параболы с коэффициентами $a^2$, $-a$ и $-5$ может быть найдена по формуле $a_v=-\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=-1$, поэтому:

$$a_v=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$$

Теперь давайте проверим, что происходит с функцией $f(a)$ при $a$ меньше, равном и больше $\frac{1}{2}$. Наши возможные случаи:

1. При $a<\frac{1}{2}$, можно взять значение $a=0$. Тогда $f(0)=0^2-0-5=-5$.

2. При $a=\frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1^2}{2^2}-\frac{1}{2}-5=-\frac{27}{4}$.

3. При $a>\frac{1}{2}$, можно взять значение $a=1$. Тогда $f(1)=1^2-1-5=-5$.

Исходя из наших вычислений, мы видим, что неравенство $a^2-a-5\le 0$ выполняется при $a=0$ и $a=1$, а при $a=\frac{1}{2}$ оно не выполняется. Однако, в условии задачи было указано, что $a$ больше 1, поэтому мы можем исключить значение $a=0$.

Таким образом, у нас остается только одно возможное значение $a=1$, при котором неравенство выполняется, а именно:

$$1^2-1-5=-5$$

Следовательно, мы видим, что $a^2-5$ не больше $a$, и условие $a^2-5$ больше $a$ является неверным. Наше предположение оказалось ложным, и наш факт доказан.

Таким образом, мы доказали, что при условии, что $a^2-5$ больше $a$ и $a$ больше 1, следует, что $a^2-5$ не больше $a$.