Докажите следующий факт: при условии, что a^2-5 больше a и a больше 1, следует, что a^2-5 больше

Для начала давайте разберем условия задачи и оценим, что они означают. У нас есть некоторое число \(a\), которое больше 1. Условие \(a^2-5\) больше \(a\) означает, что разница между квадратом \(a\) и пятью больше, чем само число \(a\).

Чтобы доказать факт, давайте воспользуемся следующим подходом. Предположим, что \(a^2-5\) не больше \(a\). Тогда можно записать неравенство:

\[a^2 - 5 \leq a\]

Чтобы упростить это неравенство, давайте перенесем все члены на одну сторону:

\[a^2 - a - 5 \leq 0\]

Теперь наша цель - найти значения \(a\), для которых это неравенство выполняется. Для этого давайте рассмотрим функцию \(f(a) = a^2 - a - 5\) и проанализируем ее поведение.

Для начала найдем вершины параболы \(f(a)\). Вершина параболы с коэффициентами \(a^2\), \(-a\) и \(-5\) может быть найдена по формуле \(a_v = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае \(a = 1\) и \(b = -1\), поэтому:

\[a_v = -\frac{-1}{2\cdot1} = \frac{1}{2}\]

Теперь давайте проверим, что происходит с функцией \(f(a)\) при \(a\) меньше, равном и больше \(\frac{1}{2}\). Наши возможные случаи:

1. При \(a < \frac{1}{2}\), можно взять значение \(a = 0\). Тогда \(f(0) = 0^2 - 0 - 5 = -5\).

2. При \(a = \frac{1}{2}\), \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1^2}{2^2} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{27}{4}\).

3. При \(a > \frac{1}{2}\), можно взять значение \(a = 1\). Тогда \(f(1) = 1^2 - 1 - 5 = -5\).

Исходя из наших вычислений, мы видим, что неравенство \(a^2 - a - 5 \leq 0\) выполняется при \(a = 0\) и \(a = 1\), а при \(a = \frac{1}{2}\) оно не выполняется. Однако, в условии задачи было указано, что \(a\) больше 1, поэтому мы можем исключить значение \(a = 0\).

Таким образом, у нас остается только одно возможное значение \(a = 1\), при котором неравенство выполняется, а именно:

\[1^2 - 1 - 5 = -5\]

Следовательно, мы видим, что \(a^2 - 5\) не больше \(a\), и условие \(a^2 - 5\) больше \(a\) является неверным. Наше предположение оказалось ложным, и наш факт доказан.

Таким образом, мы доказали, что при условии, что \(a^2 - 5\) больше \(a\) и \(a\) больше 1, следует, что \(a^2 - 5\) не больше \(a\).