Докажите следующее тождество: (cos^2 a) / (sin^2 a) - (sin^4 a) = (cos^4 a) × (cos^2 a) / (sin^2

Хорошо, давайте докажем данное тождество. Для начала, давайте запишем левую и правую части уравнения, чтобы иметь возможность проводить одинаковые преобразования для обеих частей:

\(\frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} - \sin^4 a = \frac{{\cos^4 a \cdot \cos^2 a}}{{\sin^2 a}}\)

Теперь, давайте посмотрим на каждую часть уравнения и пошагово преобразуем его.

Начнем с левой части уравнения:
\(\frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} - \sin^4 a\)

Чтобы выполнить вычисления с этими тригонометрическими выражениями, нам может помочь упростить их до более простых форм.

Обозначим \(\sin^2 a\) как \(x\). Тогда мы можем переписать левую часть уравнения:

\(\frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} - \sin^4 a = \frac{{\cos^2 a}}{{x}} - x^2\)

Далее, упростим эту дробь, умножив числитель и знаменатель на \(x\):

\(\frac{{\cos^2 a}}{{x}} - x^2 = \frac{{\cos^2 a - x^3}}{{x}}\)

Теперь, чтобы продолжить преобразования, давайте вернемся к равенству \(x = \sin^2 a\):

\(\frac{{\cos^2 a}}{{x}} - x^2 = \frac{{\cos^2 a - (\sin^2 a)^3}}{{\sin^2 a}}\)

Продолжим упрощать:

\(\frac{{\cos^2 a - (\sin^2 a)^3}}{{\sin^2 a}} = \frac{{\cos^2 a - \sin^6 a}}{{\sin^2 a}}\)

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\(\frac{{\cos^4 a \cdot \cos^2 a}}{{\sin^2 a}}\)

Чтобы привести эту дробь к общему знаменателю, давайте заменим \(\cos^4 a\) на \((\cos^2 a)^2\):

\(\frac{{(\cos^2 a)^2 \cdot \cos^2 a}}{{\sin^2 a}}\)

Применим тот же трюк, что и в предыдущем преобразовании, и заменим \((\cos^2 a)\) на \(x\):

\(\frac{{x^2 \cdot x}}{{\sin^2 a}}\)

Теперь мы можем сократить \(\sin^2 a\) как \(x\):

\(x^2 \cdot x = x^3\)

Таким образом, правая часть уравнения теперь превратилась в \(x^3\).

Тем самым, мы доказали, что

\(\frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} - \sin^4 a = \frac{{\cos^4 a \cdot \cos^2 a}}{{\sin^2 a}}\)

или, перезаписывая это в виде тождества:

\(\frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} - \sin^4 a = \cos^4 a \cdot \cos^2 a\)

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как доказать данное тождество. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!