Докажите следующее равенство: синус квадрата 22 градуса плюс синус 8 градусов, деленный на синус 30 градусов, равно синусу 12 градусов минус синусу квадрата 2 градуса, деленному на косинус 70 градусов минус косинус 80 градусов.
Морозный_Король
Хорошо, давайте докажем данное равенство. Для начала, вспомним несколько свойств тригонометрических функций:
1. \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)
2. \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
3. \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
4. \(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\)
Теперь докажем равенство, шаг за шагом.
Сначала заметим, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 360 градусов, то есть \(\sin(x+360) = \sin(x)\) и \(\cos(x+360) = \cos(x)\).
Теперь выразим все функции в терминах синуса и косинуса 22, 8, 30, 12, 2, 70 и 80 градусов:
\(\sin^2(22) = 1 - \cos^2(22)\)
\(\sin(30) = \cos(60) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(2) = \sin(60 - 58) = \sin(60)\cos(58) - \cos(60)\sin(58) = \frac{1}{2}\cos(58) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(58)\)
\(\cos(70) = \sin(20) = \frac{1}{2}\)
\(\cos(80) = \sin(10) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(12) = \sin(30 - 18) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) = \frac{1}{2}\cos(18) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(18)\)
Теперь запишем данное равенство в терминах синуса и косинуса:
\(\frac{{\sin^2(22) + \sin(8)}}{{\sin(30)}} = \frac{{\sin(12) - \sin^2(2)}}{{\cos(70) - \cos(80)}}\)
Далее, используем свойства тригонометрических функций для переписывания выражений.
\(\sin^2(22) + \sin(8) = 1 - \cos^2(22) + \sin(8) = 1 - \cos^2(22) + \sin(30 - 22) = 1 - \cos^2(22) + \sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22)\)
\(\sin(12) - \sin^2(2) = \sin(30 - 18) - \sin^2(60 - 58) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \cos^2(60 - 58)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \cos^2(2)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \sin^2(2)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \sin^2(60 - 58)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\sin^2(60)\cos^2(58) - 2\sin(60)\cos(60)\sin(58)+\cos^2(60)\sin^2(58) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58)\)
\(\cos(70) - \cos(80) = \sin(20) - \sin(10) = \sin(30 - 10) - \sin(10) = \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Теперь заменим все функции на выражения, полученные ранее:
\(1 - \cos^2(22) + \sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58) \) \( -------------------------------------------- \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Сгруппируем подобные члены:
\(\sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58) \) \( -------------------------------------------- \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Приведем подобные слагаемые в каждой части равенства:
\(\sin(30)(\cos(22) - \cos(18) - \cos(10)) = \cos(30)(\sin(22) - \sin(18) - \sin(10)) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58)) \)
Далее, заметим, что
\(\sin(30) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)
\(\cos(22) - \cos(18) - \cos(10) = \cos(22) - (\cos(30)\cos(12) - \sin(30)\sin(12)) - (\cos(30)\cos(80) - \sin(30)\sin(80)) = \cos(22) - (\frac{{\sqrt{3}}}{2}\cos(12) - \frac{1}{2}\sin(12)) - (\frac{{\sqrt{3}}}{2}\cos(80) - \frac{1}{2}\sin(80))\)
\(\sin(22) - \sin(18) - \sin(10) = (\sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22)) - (\sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18)) - (\sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)) = (\frac{1}{2}\cos(22) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(22)) - (\frac{1}{2}\cos(18) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(18)) - (\frac{1}{2}\cos(10) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(10))\)
После применения этих формул, выполняем вычисления. Получаем равенство:
\(\frac{1}{4}(\cos(22) - \cos(12) - \cos(10) - 3\cos(58) + 2\cos(80))\\= \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\sin(22) + \sin(12) + \sin(18) - \sin(10) - 2\sin(58) - \sin(80) - 2\sin(12))\)
\(\frac{1}{4}(-4\cos^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3\sin^2(29) - \sin(58) - \sin(80))\)
\(\frac{1}{4}(-4(1-\sin^2(29)) - 3\cos(58) + 2\cos(80)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3(1-\cos^2(29)) - \sin(58) - \sin(80))\)
\(-4\sin^2(29) + 3\sin^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-\sin^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
\(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
Отсюда:
\(-\sin^2(29) - \frac{3}{2}(2\cos(29)\cos(29)) + 2(\cos^2(40) - \sin^2(40)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-\sin^2(29) - 3\cos^2(29) + 2\cos^2(40) - 2\sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) + 2 - 4\cos^2(40) + 2 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) - 4(1 - \sin^2(40)) + 4 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) - 4 + 4\sin^2(40) + 4 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) + 4\sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Сократим на 4:
\(-\sin^2(29) + \sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Теперь попытаемся выразить все функции в терминах синуса и косинуса 29 и 40 градусов:
\(\sin^2(29) = 1 - \cos^2(29)\)
\(\sin^2(40) = 1 - \cos^2(40)\)
\(\cos(58) = \sin(32) = \cos(90 - 32) = \cos(90)\cos(32) - \sin(90)\sin(32) = 0\cos(32) - 1\sin(32) = -\sin(32)\)
\(\sin(80) = \cos(10)\)
\(\cos^2(29) = 1 - \sin^2(29)\)
Подставим полученные выражения:
\(-1 + \cos^2(29) + 1 - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3(1 - \sin^2(29)) - (-\sin(32)) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3 - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
Воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:
\(\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\)
Теперь перепишем последнее равенство, используя полученные формулы:
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3(1-\cos^2(29)) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - \frac{3}{8} + 3\cos^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8}{8} + 3\cos^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8}{8} + 3(\cos^2(29)) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8+8\cos^2(29)+16\sin(32)-16\cos(10)}{8})\)
Теперь упростим выражение внутри скобок. Заметим, что:
\(\cos(29) = \cos(90-61) = \sin(61)\)
\(\cos(40) = \cos(90-50) = \sin
1. \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)
2. \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
3. \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
4. \(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\)
Теперь докажем равенство, шаг за шагом.
Сначала заметим, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 360 градусов, то есть \(\sin(x+360) = \sin(x)\) и \(\cos(x+360) = \cos(x)\).
Теперь выразим все функции в терминах синуса и косинуса 22, 8, 30, 12, 2, 70 и 80 градусов:
\(\sin^2(22) = 1 - \cos^2(22)\)
\(\sin(30) = \cos(60) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(2) = \sin(60 - 58) = \sin(60)\cos(58) - \cos(60)\sin(58) = \frac{1}{2}\cos(58) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(58)\)
\(\cos(70) = \sin(20) = \frac{1}{2}\)
\(\cos(80) = \sin(10) = \frac{1}{2}\)
\(\sin(12) = \sin(30 - 18) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) = \frac{1}{2}\cos(18) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(18)\)
Теперь запишем данное равенство в терминах синуса и косинуса:
\(\frac{{\sin^2(22) + \sin(8)}}{{\sin(30)}} = \frac{{\sin(12) - \sin^2(2)}}{{\cos(70) - \cos(80)}}\)
Далее, используем свойства тригонометрических функций для переписывания выражений.
\(\sin^2(22) + \sin(8) = 1 - \cos^2(22) + \sin(8) = 1 - \cos^2(22) + \sin(30 - 22) = 1 - \cos^2(22) + \sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22)\)
\(\sin(12) - \sin^2(2) = \sin(30 - 18) - \sin^2(60 - 58) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \cos^2(60 - 58)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \cos^2(2)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \sin^2(2)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (1 - \sin^2(60 - 58)) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\sin^2(60)\cos^2(58) - 2\sin(60)\cos(60)\sin(58)+\cos^2(60)\sin^2(58) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58)\)
\(\cos(70) - \cos(80) = \sin(20) - \sin(10) = \sin(30 - 10) - \sin(10) = \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Теперь заменим все функции на выражения, полученные ранее:
\(1 - \cos^2(22) + \sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58) \) \( -------------------------------------------- \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Сгруппируем подобные члены:
\(\sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22) = \sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58) \) \( -------------------------------------------- \sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)\)
Приведем подобные слагаемые в каждой части равенства:
\(\sin(30)(\cos(22) - \cos(18) - \cos(10)) = \cos(30)(\sin(22) - \sin(18) - \sin(10)) - (\frac{1}{4}\cos^2(58) - \sqrt{3}\sin(58)+\frac{3}{4}\sin^2(58)) \)
Далее, заметим, что
\(\sin(30) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)
\(\cos(22) - \cos(18) - \cos(10) = \cos(22) - (\cos(30)\cos(12) - \sin(30)\sin(12)) - (\cos(30)\cos(80) - \sin(30)\sin(80)) = \cos(22) - (\frac{{\sqrt{3}}}{2}\cos(12) - \frac{1}{2}\sin(12)) - (\frac{{\sqrt{3}}}{2}\cos(80) - \frac{1}{2}\sin(80))\)
\(\sin(22) - \sin(18) - \sin(10) = (\sin(30)\cos(22) - \cos(30)\sin(22)) - (\sin(30)\cos(18) - \cos(30)\sin(18)) - (\sin(30)\cos(10) - \cos(30)\sin(10)) = (\frac{1}{2}\cos(22) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(22)) - (\frac{1}{2}\cos(18) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(18)) - (\frac{1}{2}\cos(10) - \frac{{\sqrt{3}}}{2}\sin(10))\)
После применения этих формул, выполняем вычисления. Получаем равенство:
\(\frac{1}{4}(\cos(22) - \cos(12) - \cos(10) - 3\cos(58) + 2\cos(80))\\= \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\sin(22) + \sin(12) + \sin(18) - \sin(10) - 2\sin(58) - \sin(80) - 2\sin(12))\)
\(\frac{1}{4}(-4\cos^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3\sin^2(29) - \sin(58) - \sin(80))\)
\(\frac{1}{4}(-4(1-\sin^2(29)) - 3\cos(58) + 2\cos(80)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3(1-\cos^2(29)) - \sin(58) - \sin(80))\)
\(-4\sin^2(29) + 3\sin^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 3 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-\sin^2(29) - 3\cos(58) + 2\cos(80) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)
\(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)
Отсюда:
\(-\sin^2(29) - \frac{3}{2}(2\cos(29)\cos(29)) + 2(\cos^2(40) - \sin^2(40)) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-\sin^2(29) - 3\cos^2(29) + 2\cos^2(40) - 2\sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) + 2 - 4\cos^2(40) + 2 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) - 4(1 - \sin^2(40)) + 4 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) - 4 + 4\sin^2(40) + 4 = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
\(-4\sin^2(29) + 4\sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{4}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Сократим на 4:
\(-\sin^2(29) + \sin^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3\cos^2(29) - \sin(58) - \sin(80)\)
Теперь попытаемся выразить все функции в терминах синуса и косинуса 29 и 40 градусов:
\(\sin^2(29) = 1 - \cos^2(29)\)
\(\sin^2(40) = 1 - \cos^2(40)\)
\(\cos(58) = \sin(32) = \cos(90 - 32) = \cos(90)\cos(32) - \sin(90)\sin(32) = 0\cos(32) - 1\sin(32) = -\sin(32)\)
\(\sin(80) = \cos(10)\)
\(\cos^2(29) = 1 - \sin^2(29)\)
Подставим полученные выражения:
\(-1 + \cos^2(29) + 1 - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3(1 - \sin^2(29)) - (-\sin(32)) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{7}{8} - 2 + 3 - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
Воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:
\(\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\)
Теперь перепишем последнее равенство, используя полученные формулы:
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3\sin^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - 3(1-\cos^2(29)) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{11}{8} - \frac{3}{8} + 3\cos^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8}{8} + 3\cos^2(29) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8}{8} + 3(\cos^2(29)) + \sin(32) - \cos(10)\)
\(\cos^2(29) - \cos^2(40) = \frac{{\sqrt{3}}}{16}(\frac{8+8\cos^2(29)+16\sin(32)-16\cos(10)}{8})\)
Теперь упростим выражение внутри скобок. Заметим, что:
\(\cos(29) = \cos(90-61) = \sin(61)\)
\(\cos(40) = \cos(90-50) = \sin
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
