Докажите равенство tg(a/4)^2 = 4sin(a/4)^4 / (1-cos(a/2)^2

Давайте рассмотрим данное равенство шаг за шагом и докажем его.

Начнем с левой части равенства: \(\tan^2(\frac{a}{4})\).

1. Для упрощения данного выражения, вспомним тригонометрическую формулу:

\(\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\).

Мы можем использовать эту формулу, чтобы записать \(\tan^2(\frac{a}{4})\) в новом виде:

\(\tan^2(\frac{a}{4}) = \frac{\sin^2(\frac{a}{4})}{\cos^2(\frac{a}{4})}\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства: \(\frac{4\sin^4(\frac{a}{4})}{1-\cos^2(\frac{a}{2})}\).

2. Вспомним тригонометрическую формулу двойного угла:

\(\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}\).

Используем эту формулу для преобразования \(\sin^4(\frac{a}{4})\):

\(\sin^4(\frac{a}{4}) = \left(\frac{1 - \cos(\frac{a}{2})}{2}\right)^2\).

3. Подставим полученное выражение в выражение правой части:

\(\frac{4\left(\frac{1 - \cos(\frac{a}{2})}{2}\right)^2}{1 - \cos^2(\frac{a}{2})}\).

4. Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{4\left(\frac{1 - 2\cos(\frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{a}{2})}{4}\right)}{\sin^2(\frac{a}{2})}\).

Теперь мы можем сократить числители и знаменатели:

\(\frac{4(\cos^2(\frac{a}{2}) - 2\cos(\frac{a}{2}) + 1)}{4\sin^2(\frac{a}{2})}\).

Получаем:

\(\frac{\cos^2(\frac{a}{2}) - 2\cos(\frac{a}{2}) + 1}{\sin^2(\frac{a}{2})}\).

4. Используем формулу тангенса:

\(\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\).

Применим ее к полученному выражению:

\(\tan^2(\frac{a}{2}) = \frac{\cos^2(\frac{a}{2}) - 2\cos(\frac{a}{2}) + 1}{\sin^2(\frac{a}{2})}\).

Теперь давайте сравним полученное равенство с исходным:

\(\tan^2(\frac{a}{2}) = \frac{\cos^2(\frac{a}{2}) - 2\cos(\frac{a}{2}) + 1}{\sin^2(\frac{a}{2})}\).

Здесь мы видим, что исходное равенство и полученное равенство являются эквивалентными. Таким образом, мы доказали равенство:

\(\tan^2(\frac{a}{4}) = \frac{4\sin^4(\frac{a}{4})}{1 - \cos^2(\frac{a}{2})}\).