Докажите перпендикулярность отрезков а) аа1 и ас; б) аа1 и bd; в) av для куба abcda1b1c1d1 (рисунок 11.7

Для начала давайте вспомним, что означает перпендикулярность отрезков. Отрезки считаются перпендикулярными, если они образуют прямой угол, то есть если угол между ними равен 90 градусов.

а) Докажем перпендикулярность отрезков \(aa_1\) и \(ac\).

По свойствам куба, отрезки \(aa_1\) и \(ac\) являются диагоналями грани куба, а диагонали любого куба перпендикулярны между собой. Следовательно, отрезки \(aa_1\) и \(ac\) перпендикулярны.

б) Теперь рассмотрим отрезки \(aa_1\) и \(bd\).

Для доказательства перпендикулярности этих отрезков также воспользуемся свойствами куба. Отрезки \(aa_1\) и \(bd\) являются диагоналями куба, одна из которых проходит через вершину куба, а другая - через центр основания. Поскольку угол между диагоналями куба равен 90 градусов, то отрезки \(aa_1\) и \(bd\) также перпендикулярны.

в) Наконец, рассмотрим отрезки \(av\).

Отрезок \(av\) соединяет вершину \(a\) с центром грани \(bcdd_1\). Поскольку \(av\) - диагональ грани куба, а центр грани \(bcdd_1\) находится посередине стороны \(bc\), то отрезок \(av\) проходит через центр основания грани и образует прямой угол с гранью куба. Следовательно, отрезок \(av\) перпендикулярен грани куба \(bcdd_1\).

Таким образом, отрезки \(aa_1\) и \(ac\) перпендикулярны, \(aa_1\) и \(bd\) перпендикулярны, \(av\) и грань куба \(bcdd_1\) перпендикулярны, что и требовалось доказать.