Докажите, используя векторы, что отрезок AB параллелен отрезку KM и имеет длину, равную половине длины отрезка

Для доказательства параллельности отрезка AB и отрезка KM и равенства их длин, мы воспользуемся свойством векторов.

Пусть вектор AB обозначается как \(\vec{AB}\), а вектор KM обозначается как \(\vec{KM}\).

Шаг 1: Определение векторов.
Вектор AB можно определить как разность координат точки A и B, т.е. \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\).
Аналогично, вектор KM можно определить как разность координат точки K и M, т.е. \(\vec{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K)\).

Шаг 2: Использование свойств векторов.
Если два вектора параллельны, то они имеют одинаковое направление. Для того чтобы два вектора имели одинаковое направление, их компоненты должны быть пропорциональны.

Таким образом, для доказательства параллельности векторов AB и KM, необходимо установить соотношение между их компонентами.

Шаг 3: Рассмотрение отношения длин отрезков.
Мы знаем, что отрезок AB имеет длину, равную половине длины отрезка KM.
Математически это можно записать как \(2 \cdot |\vec{AB}| = |\vec{KM}|\).

Шаг 4: Выражение компонент векторов через их длины.
Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, мы можем выразить длины векторов через компоненты:
\( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \) и
\( |\vec{KM}| = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2} \).

Шаг 5: Выражение компонент векторов через их длины.
Подставим выражение для длин векторов в уравнение, полученное на шаге 3:
\(2 \cdot \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2}\).

Шаг 6: Доказательство параллельности.
Если выполняется уравнение из шага 5, то векторы AB и KM параллельны.

Шаг 7: Доказательство равенства длин.
Для того чтобы завершить доказательство, нужно показать, что длина отрезка AB действительно равна половине длины отрезка KM.

Выразим полученное уравнение из шага 5 в квадрате:
\[(2 \cdot \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2})^2 = ((x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2)\].

Возведем каждое слагаемое в квадрат и приведем к общему знаменателю:
\[4((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = ((x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2)\].

После раскрытия скобок и ряда преобразований, мы получим:
\[4x_B^2 - 8x_Ax_B + 4x_A^2 + 4y_B^2 - 8y_Ay_B + 4y_A^2 = x_M^2 - 2x_Kx_M + x_K^2 + y_M^2 - 2y_Ky_M + y_K^2\].

Если каждую координату отдельно сравнить, можно получить систему уравнений из шага 7, из которой можно вывести, что \( 2x_A = x_K \), \( 2x_B = x_M \), \( 2y_A = y_K \) и \( 2y_B = y_M \), что доказывает равенство длин.

Итак, мы показали, что векторы AB и KM параллельны и имеют равные длины, а значит, отрезок AB параллелен отрезку KM и имеет длину, равную половине длины отрезка KM.