Докажите эквивалентность следующих выражений: синус в четвертой степени угла а плюс косинус в четвертой степени угла

Для доказательства данной эквивалентности, воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

1) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
2) \(\sin^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2\)
3) \(\cos^4 \theta = (\cos^2 \theta)^2\)

Начнем с выражения слева:

\[\sin^4 \theta + \cos^4 \theta - (\sin^6 \theta + \cos^6 \theta)\]

Нам нужно представить каждое слагаемое в виде квадрата. Применяем тождество 2:

\[\sin^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2\]

\[\cos^4 \theta = (\cos^2 \theta)^2\]

Теперь представим каждое слагаемое в виде куба. Применяем тождество 3:

\[\sin^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3\]

\[\cos^6 \theta = (\cos^2 \theta)^3\]

Теперь мы можем переписать выражение слева следующим образом:

\[(\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2 - (\sin^2 \theta)^3 - (\cos^2 \theta)^3\]

Подставляем тождество 1 для квадратов:

\[(1 - \cos^2 \theta)^2 + \cos^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)^3 - \sin^2 \theta\]

После раскрытия скобок мы получим:

\[1 - 2\cos^2 \theta + \cos^4 \theta + \cos^2 \theta - 1 + 3\sin^2 \theta - 3\sin^4 \theta + \sin^6 \theta - \sin^2 \theta\]

\[2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^4 \theta - 3\sin^4 \theta + \sin^6 \theta\]

Теперь сложим все слагаемые:

\[2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^4 \theta - 3\sin^4 \theta + \sin^6 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta - 3\sin^2 \theta + \sin^4 \theta)\]

Мы знаем, что \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), поэтому можно записать:

\[1(2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta - 3\sin^2 \theta + \sin^4 \theta)\]

Упростим выражение:

\[2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta - 3\sin^2 \theta + \sin^4 \theta = 2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta - 3\sin^2 \theta + \sin^4 \theta + \cos^2 \theta\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta - 3\sin^2 \theta + \sin^4 \theta + \cos^2 \theta = (\sin^4 \theta - 3\sin^2 \theta) + (2\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta)\]

Раскроем скобки:

\[(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\sin^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta)\]

Факторизуем:

\[(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\sin^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta) = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta)\]

Применим тождество 1 для разности квадратов:

\[(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta) = (-\cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta)\]

Упростим выражение и сократим:

\[(-\cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - 3) + (\cos^2 \theta)(2 - 2\cos^2 \theta) = -\cos^2 \theta(\sin^2 \theta - 3 + 2 - 2\cos^2 \theta)\]

\[= -\cos^2 \theta(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta - 1)\]

Теперь мы можем использовать тождество 1 для разности квадратов:

\[-\cos^2 \theta(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta - 1) = -\cos^2 \theta(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = -\cos^2 \theta \cdot -\sin^2 \theta\]

Но мы можем записать \(-\sin^2 \theta\) как \(\sin^2 \theta \cdot (-1)\):

\[-\cos^2 \theta \cdot -\sin^2 \theta = \cos^2 \theta \cdot \sin^2 \theta\]

Мы получили выражение справа, что означает, что два исходных выражения эквивалентны. Доказательство завершено.

Таким образом:

\[\sin^4 \theta + \cos^4 \theta - (\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) = \cos^2 \theta \cdot \sin^2 \theta\]