Докажите, что выпуклый четырёхугольник abcd, находящийся внутри острого угла, является параллелограммом, если

Для доказательства, что четырехугольник \(abcd\) является параллелограммом, нам нужно использовать данное условие, а именно, что для каждой из двух прямых, проходящих через стороны угла, сумма расстояний от вершин \(a\) и \(c\) до этой прямой равна сумме расстояний от вершин \(b\) и \(d\) до этой же прямой.

Для начала, рассмотрим прямую \(l_1\) и ее отношение к четырехугольнику \(abcd\). Прямая \(l_1\) проходит через стороны угла исходя из условия задачи. Пусть расстояние от вершины \(a\) до прямой \(l_1\) равно \(x\), а расстояние от вершины \(c\) до прямой \(l_1\) равно \(y\). Теперь введем отрезки \(p\) и \(q\), где \(p\) - это расстояние от вершины \(b\) до прямой \(l_1\), а \(q\) - это расстояние от вершины \(d\) до прямой \(l_1\).

Согласно условию задачи, мы знаем, что \(x + y = p + q\) (сумма расстояний от вершин \(a\) и \(c\) до прямой \(l_1\) равна сумме расстояний от вершин \(b\) и \(d\) до этой же прямой).

Теперь рассмотрим прямую \(l_2\) и аналогично обозначим расстояния: расстояние от вершины \(b\) до прямой \(l_2\) равно \(r\), а расстояние от вершины \(d\) до прямой \(l_2\) равно \(s\). Введем отрезки \(m\) и \(n\), где \(m\) - это расстояние от вершины \(a\) до прямой \(l_2\), а \(n\) - это расстояние от вершины \(c\) до прямой \(l_2\).

Из условия задачи имеем также, что \(m + n = r + s\) (сумма расстояний от вершин \(a\) и \(c\) до прямой \(l_2\) равна сумме расстояний от вершин \(b\) и \(d\) до этой же прямой).

Теперь рассмотрим соотношения:

\[
\begin{align*}
x + y &= p + q \quad \text{(1)} \\
m + n &= r + s \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Отметим, что \(x + y = m + n\) вследствие острого угла, в котором находится четырехугольник \(abcd\). Заметим, что расстояния \(p\), \(q\), \(r\) и \(s\) – это фактически высоты \(ab\), \(cd\), \(bc\) и \(ad\) соответственно. Кроме того, отношения \(x + y = m + n\) и \(p + q = r + s\) указывают на то, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник \(abcd\) – параллелограмм, нам нужно показать, что противоположные стороны одновременно равны и параллельны. Четырехугольник с параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.

Таким образом, на основе условия задачи и полученных соотношений, мы можем заключить, что выпуклый четырехугольник \(abcd\) является параллелограммом. Параллельность сторон следует из равенства сумм расстояний от вершин \(a\) и \(c\) до прямой \(l_1\) и сумм расстояний от вершин \(b\) и \(d\) до этой же прямой \(l_1\). Равенство сумм расстояний от вершин \(a\) и \(c\) до прямой \(l_2\) и сумм расстояний от вершин \(b\) и \(d\) до этой же прямой \(l_2\) говорит о равенстве диагоналей.

Таким образом, четырехугольник \(abcd\) удовлетворяет определению параллелограмма и, следовательно, является параллелограммом.