Докажите, что Вася и Петя могут выбрать один из кусков пиццы, разрезать его на две части таким образом, чтобы всю пиццу

Предположим, что у нас есть кусок пиццы, который мы хотим разрезать на две части равного веса. Возможно, кажется, что это невозможно, так как куски пиццы могут быть не равными. Однако, мы можем продемонстрировать, что Вася и Петя всегда могут найти способ разрезать пиццу на две равные части.

Для начала, пронумеруем все куски пиццы от 1 до n, где n - общее количество кусков пиццы. Пусть первый кусок пиццы имеет вес a1, второй - a2, третий - a3 и так далее до n-го куска с весом an. Всего у нас есть n кусков пиццы.

Давайте рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: n - четное число.
Если n четное, мы можем сгруппировать все куски пиццы попарно, начиная с первого и второго, затем соединить третий и четвертый, и так далее. Каждая пара имеет вес a1+a2, a3+a4, и так далее, и все эти веса равны, так как мы предполагаем, что каждый кусок пиццы имеет одинаковую плотность. Теперь у нас есть n/2 пар с одинаковыми весами.
Вася и Петя могут взять одну пару кусков пиццы и разделить их на две части равного веса. Мы выполнили задачу, так как мы разделили все куски пиццы на две равные части.

Случай 2: n - нечетное число.
Если n нечетное, мы можем сгруппировать все куски пиццы попарно, начиная с первого и второго, затем соединить третий и четвертый, и так далее, пока не останется один кусок пиццы без пары. Каждая пара, кроме последней, имеет вес a1+a2, a3+a4, и так далее. У последнего, несоединенного куска пиццы, вес an.
Общий вес всех пар будет равен (n-1)/2 пар с одинаковыми весами, так как мы предполагаем, что каждый кусок пиццы имеет одинаковую плотность. Теперь у нас есть (n-1)/2 пар с одинаковыми весами.
Вася и Петя могут взять одну из пар с одинаковыми весами и разделить их на две части равного веса. Теперь у нас остался один несоединенный кусок пиццы с весом an.
Вася и Петя могут взять этот оставшийся кусок пиццы и разрезать его на две части пополам, так как мы предполагаем, что он имеет одинаковую плотность. Мы снова выполнили задачу, так как мы разделили все куски пиццы на две равные части.

Таким образом, в обоих случаях Вася и Петя могут выбрать один из кусков пиццы, разрезать его на две части таким образом, чтобы всю пиццу можно было разделить на две части равного веса, даже если куски могут быть не равными.