Докажите, что в треугольнике ABD и треугольнике BEC углы BAD и BCE равны

Для доказательства того, что углы \(\angle BAD\) и \(\angle BCE\) равны, мы можем использовать два факта о треугольниках.

Факт 1: В треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам.
Факт 2: Если две прямые линии пересекаются, вертикальные углы равны.

Для начала, рассмотрим треугольник ABD:

\[
\begin{array}{c}
\angle BAD + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ \quad \text{(Факт 1)} \\
\angle BDA + \angle ABD = 180^\circ - \angle BAD \quad \text{(1)}
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим треугольник BEC:

\[
\begin{array}{c}
\angle BCE + \angle BEC + \angle CEB = 180^\circ \quad \text{(Факт 1)} \\
\angle CEB + \angle BEC = 180^\circ - \angle BCE \quad \text{(2)}
\end{array}
\]

Дано, что прямые AB и BC пересекаются в точке B. Это означает, что угол ABD и угол BEC являются вертикальными углами и, согласно Факту 2, они равны:

\[\angle ABD = \angle BEC \quad \text{(3)}\]

Теперь соединим все факты, мы получим:

\[
\begin{aligned}
\angle BAD &= 180^\circ - \angle BDA - \angle ABD \quad \text{(из уравнения (1))} \\
&= 180^\circ - (\angle BDA + \angle ABD) \\
&= 180^\circ - (\angle BEC + \angle CEB) \quad \text{(из уравнения (2))} \\
&= 180^\circ - \angle BCE \quad \text{(из уравнения (3))} \\
&= \angle BCE
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы доказали, что углы \(\angle BAD\) и \(\angle BCE\) равны.