Как решить дифференциальное уравнение dy=(x^2 - 1)dx, при известных условиях y = 4 при x

Хорошо! Давайте решим это дифференциальное уравнение по шагам. У нас дано уравнение dy=(x^2 - 1)dx, и мы также знаем условие, что y равно 4 при x.

Шаг 1: Интегрирование обоих частей уравнения
Для начала, мы хотим интегрировать обе части уравнения. Интегрирование позволяет нам найти функцию y(x), удовлетворяющую уравнению. Интегрируем левую и правую части по отдельности:

\[\int dy = \int (x^2 - 1)dx\]

Интегрируя левую часть, получаем просто y. Интегрируя правую часть, мы используем правила интегрирования и получаем:

y = \(\frac{1}{3}x^3 - x + C\), где С - произвольная константа.

Шаг 2: Определение константы C с использованием условия
Мы можем использовать данное условие, что y = 4 при x, чтобы определить константу C. Заметим, что когда x = 0, y также должно быть равно 4. Подставляя x = 0 и y = 4 в уравнение, мы можем найти значения константы C:

4 = \(\frac{1}{3}(0)^3 - (0) + C\)

Упрощая уравнение, получаем:

4 = C

Таким образом, мы узнали, что константа C равна 4.

Шаг 3: Запись окончательного решения
Теперь, когда у нас есть значение константы C, мы можем записать окончательное решение уравнения. Подставляя C = 4 в наше предыдущее решение, получаем:

y = \(\frac{1}{3}x^3 - x + 4\)

Итак, решение дифференциального уравнения dy=(x^2 - 1)dx при условии y = 4 при x - это функция y = \(\frac{1}{3}x^3 - x + 4\).

Убедитесь, что проверяете решение, подставляя x = 0 в решение, чтобы увидеть, что y действительно равно 4.