Докажите, что результатом вычисления выражения 6/(1-ѵ7)-2/(ѵ7+3) является целое число

Для доказательства того, что выражение \(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} - \frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3}\) является целым числом, мы можем проанализировать различные аспекты данного выражения.

1. Начнем с анализа дроби \(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}}\):

Пояснение:
Для начала докажем, что знаменатель данной дроби является делителем числителя. Для этого представим данную дробь в виде суммы двух дробей:

\(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} = \frac{6 \cdot (1+\sqrt[7]{v})}{(1-\sqrt[7]{v}) \cdot (1+\sqrt[7]{v})}\)

Продолжение:
Теперь упростим данное выражение, умножив числитель и знаменатель на \(1+\sqrt[7]{v}\):

\(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} = \frac{6 \cdot (1+\sqrt[7]{v})}{1-\sqrt[7]{v^2}}\)

Пояснение:
Заметим, что выражение \(1-\sqrt[7]{v^2}\) является разностью квадратов и может быть упрощено с использованием формулы \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\):

\(1-\sqrt[7]{v^2} = (1+\sqrt[7]{v}) \cdot (1-\sqrt[7]{v})\)

Продолжение:
Подставим полученное значение в исходное выражение:

\(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} = \frac{6 \cdot (1+\sqrt[7]{v})}{(1+\sqrt[7]{v}) \cdot (1-\sqrt[7]{v})}\)

Отметим, что в числителе и знаменателе присутствит \(1+\sqrt[7]{v}\), и они сокращаются, следовательно:

\(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} = 6\)

Пояснение:
Таким образом, мы доказали, что дробь \(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}}\) равна целому числу 6.

2. Теперь рассмотрим вторую дробь \(\frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3}\):

Пояснение:
Для доказательства целочисленности данной дроби, снова воспользуемся методом общего заменителя.

Продолжение:
Умножим числитель и знаменатель данной дроби на \(\sqrt[7]{v} - 3\):

\(\frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3} = \frac{2 \cdot (\sqrt[7]{v} - 3)}{(\sqrt[7]{v} + 3) \cdot (\sqrt[7]{v} - 3)}\)

Снова используем формулу разности квадратов:

\((\sqrt[7]{v} + 3) \cdot (\sqrt[7]{v} - 3) = \sqrt[7]{v^2} - 3^2 = \sqrt[7]{v^2} - 9\)

Продолжение:
Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

\(\frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3} = \frac{2 \cdot (\sqrt[7]{v} - 3)}{\sqrt[7]{v^2} - 9}\)

Заметим, что в числителе и знаменателе присутствует \(\sqrt[7]{v} - 3\), и они сокращаются:

\(\frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3} = 2\)

Пояснение:
Таким образом, мы доказали, что дробь \(\frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3}\) равна целому числу 2.

3. Теперь объединим оба результата:

Пояснение:
Результат вычисления выражения \(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} - \frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3}\) будет равен разности двух целых чисел 6 и 2.

Продолжение:
\(\frac{6}{1-\sqrt[7]{v}} - \frac{2}{\sqrt[7]{v} + 3} = 6 - 2 = 4\)

Пояснение:
Таким образом, мы доказали, что результатом вычисления данного выражения является целое число 4.