Докажите, что результат арифметического выражения (1 / 2 корень из 3 + 1) - (1 / 2 корень из 3 - 1) является

Для начала разберемся с выражением \(\frac{1}{2\sqrt{3} + 1} - \frac{1}{2\sqrt{3} - 1}\).

Чтобы доказать, что результат этого выражения является рациональным числом, нам нужно упростить его до значения, которое можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.

Для выполнения такого упрощения применим метод сопряженных значений. Это означает, что мы будем умножать числитель и знаменатель каждого из двух слагаемых на сопряженное значение zнапл.

Наше выражение можно представить в следующем виде:

\(\frac{1}{2\sqrt{3} + 1} - \frac{1}{2\sqrt{3} - 1} = \frac{1(2\sqrt{3} - 1) - 1(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)}\).

Перемножим числители и знаменатели, чтобы упростить это выражение:

\(= \frac{2\sqrt{3} - 1 - (2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)}\).

Теперь вычислим числитель:

\(= \frac{2\sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{3} - 1}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)}\).

Числитель упрощается и становится равным \(-2\). Знаменатель остается неизменным:

\(= \frac{-2}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)}\).

Теперь применим формулу сопряженного значения, чтобы упростить выражение \((2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)\):

\((2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) = (2\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 12 - 1 = 11\).

Теперь можем заменить \((2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)\) на 11 в нашем исходном выражении:

\(= \frac{-2}{11}\).

Таким образом, мы получаем, что выражение \(\frac{1}{2\sqrt{3} + 1} - \frac{1}{2\sqrt{3} - 1}\) равно \(-\frac{2}{11}\), что является рациональным числом.