Какое значение должна иметь переменная t, чтобы разность между дробями 1:t−8 и 5:t+8 была равна их произведению?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Дроби, которые даны в условии задачи, равны \(\frac{1}{{t-8}}\) и \(\frac{5}{{t+8}}\), соответственно.

Мы хотим найти значение переменной \(t\), при котором разность между этими дробями равна их произведению. Представим это математически:

\(\left(\frac{1}{{t-8}}\right) - \left(\frac{5}{{t+8}}\right) = \left(\frac{1}{{t-8}}\right) \cdot \left(\frac{5}{{t+8}}\right)\)

Теперь найдем общий знаменатель для удобства вычислений. Умножим первое слагаемое на \(\frac{{t+8}}{{t+8}}\) и второе слагаемое на \(\frac{{t-8}}{{t-8}}\):

\(\frac{{1 \cdot (t+8)}}{{(t-8) \cdot (t+8)}} - \frac{{5 \cdot (t-8)}}{{(t+8) \cdot (t-8)}} = \frac{{1 \cdot 5}}{{(t-8) \cdot (t+8)}}\)

Сократим числитель дроби на левой стороне уравнения:

\(\frac{{t+8}}{{(t-8) \cdot (t+8)}} - \frac{{5 \cdot (t-8)}}{{(t+8) \cdot (t-8)}} = \frac{5}{{(t-8) \cdot (t+8)}}\)

Теперь приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

\(\frac{{t+8 - 5 \cdot (t-8)}}{{(t-8) \cdot (t+8)}} = \frac{5}{{(t-8) \cdot (t+8)}}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{t+8 - 5t + 40}}{{(t-8) \cdot (t+8)}} = \frac{5}{{(t-8) \cdot (t+8)}}\)

Сократим числитель на левой стороне уравнения:

\(\frac{{-4t + 48}}{{(t-8) \cdot (t+8)}} = \frac{5}{{(t-8) \cdot (t+8)}}\)

Теперь у нас есть равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями. Равенство двух дробей выполняется только тогда, когда их числители равны. Поэтому мы можем записать равенство числителей:

\(-4t + 48 = 5\)

Теперь решим это уравнение относительно переменной \(t\):

\(-4t = 5 - 48\)

\(-4t = -43\)

Делим обе стороны на -4:

\(t = -43 / -4\)

\(t = 10.75\)

Итак, чтобы разность между дробями \(\frac{1}{{t-8}}\) и \(\frac{5}{{t+8}}\) была равна их произведению, переменная \(t\) должна иметь значение равное 10.75.