Для каких натуральных значений n дробь (n*n-2*n*7+49): n имеет натуральные корни?

Чтобы найти натуральные значения \(n\), при которых дробь \(\frac{{n^2 - 2n \cdot 7 + 49}}{{n}}\) имеет натуральные корни, мы должны решить неравенство \(n^2 - 2n \cdot 7 + 49 \geq 0\) и затем найти натуральные значения \(n\), удовлетворяющие этому неравенству.

Давайте разберемся пошагово.

1. Решение неравенства:
Начнем с неравенства \(n^2 - 2n \cdot 7 + 49 \geq 0\).
Мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки: \(n^2 - 14n + 49 \geq 0\).
Теперь можем факторизовать его, для этого найдем два числа, которые умножаются между собой и дают 49, а складываются и дают -14.
Два таких числа это -7 и -7, и поэтому, неравенство можно записать как: \((n - 7)^2 \geq 0\).

Обратим внимание, что квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, поэтому это неравенство выполняется для любого \(n\).

2. Нахождение натуральных значений \(n\), удовлетворяющих неравенству:
Теперь, чтобы найти натуральные значения \(n\) такие, что дробь \(\frac{{n^2 - 2n \cdot 7 + 49}}{{n}}\) имеет натуральные корни, нам нужно найти те значения \(n\), которые делают выражение \(n^2 - 2n \cdot 7 + 49\) полным квадратом.

Как мы видели ранее, \(n^2 - 2n \cdot 7 + 49 = (n - 7)^2\).
Таким образом, для того, чтобы выражение \(\frac{{n^2 - 2n \cdot 7 + 49}}{{n}}\) имело натуральные корни, необходимо, чтобы \(n\) было равно 7 (так как \((n - 7)^2 = 0\)) или любому другому натуральному числу.

3. Итоговый ответ:
Итак, дробь \(\frac{{n^2 - 2n \cdot 7 + 49}}{{n}}\) имеет натуральные корни для всех натуральных значений \(n\).