Докажите, что ребро MA перпендикулярно плоскости, в которой лежит треугольник PQS, причем PQ:QS = 2:3 и MN:NS

Чтобы доказать, что ребро MA перпендикулярно плоскости, в которой лежит треугольник PQS, нам нужно перейти к векторной форме решения, используя информацию о соотношении длин отрезков PQ, QS, MN и NS.

В данной задаче у нас есть информация о соотношении длин отрезков PQ и QS, а также MN и NS. Предположим, что векторный представитель отрезка PQ - \(\overrightarrow{PQ}\), а отрезка QS - \(\overrightarrow{QS}\). Аналогично, обозначим векторный представитель отрезка MN как \(\overrightarrow{MN}\) и отрезка NS - \(\overrightarrow{NS}\).

Исходя из данных условия, имеем:

\(\frac{|\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{QS}|} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{|\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{NS}|}\)

Теперь давайте разберемся, как связаны эти отношения с перпендикулярностью ребра MA к плоскости треугольника PQS.

Для начала, заметим, что векторное произведение двух векторов нулевое только в случае, когда они коллинеарны. Если мы докажем, что векторное произведение \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS}\) равно нулю, то это будет означать, что векторы \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS}\) коллинеарны, а значит, ребро MA перпендикулярно плоскости, в которой лежит треугольник PQS.

Теперь выражаем \(\overrightarrow{PQ}\) и \(\overrightarrow{QS}\) через векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NS}\):

\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PN} - \overrightarrow{QN}\)

\(\overrightarrow{QS} = \overrightarrow{QN} - \overrightarrow{SN}\)

Раскрываем \(\overrightarrow{PN}\) и \(\overrightarrow{SN}\) через векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{NS}\):

\(\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)

\(\overrightarrow{SN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NS}\)

Подставляем значения в выражение для \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS}\):

\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}) \times (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NS})\)

Применяем свойства кросс-произведения векторов:

\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}) \times \overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}) \times \overrightarrow{AN} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}) \times \overrightarrow{NS}\)

Так как векторное произведение вектора с самим собой равно нулю (\(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0}\)), упрощаем выражение:

\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{NS})\)

Вспоминаем, что векторное произведение антикоммутативно (\(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = -\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}\)), и получаем:

\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = (\overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NS} \times \overrightarrow{MA})\)

Складываем векторы и перегруппируем слагаемые:

\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = 2(\overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MA}) + \overrightarrow{NS} \times \overrightarrow{MA}\)

Теперь мы можем заметить, что выражение содержит два кратных векторного произведения \(\overrightarrow{AN} \times \overrightarrow{MA}\). Так как соотношение \(\frac{|\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{NS}|}\) соответствует тому же отношению в дроби \(\frac{2}{3}\), мы можем сделать вывод, что \(\overrightarrow{NS}\) и \(\overrightarrow{AN}\) коллинеарны, а значит, их векторное произведение равно нулю.

Таким образом, получаем:


\(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{NS} \times \overrightarrow{MA} = 0\)

Итак, мы доказали, что векторное произведение \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QS}\) равно нулю. Следовательно, ребро MA перпендикулярно плоскости, в которой лежит треугольник PQS.

Α \textit{\(доказательство этого факта студентам может быть достаточно сложным и требует понимания векторной алгебры, поэтому важно провести их через каждый шаг и объяснить каждую операцию. Это даст им возможность узнать, как мы пришли к этому заключению и позволит им лучше понять данную задачу)}