Докажите, что после того, как каждый из четырех слонов сделал ход внутрь клетчатого прямоугольника в таблице умножения

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с таблицей умножения и подходящими слонами. Таблица умножения - это способ представления всех возможных произведений двух чисел от 1 до 9. В данной задаче нам дан клетчатый прямоугольник, под которым находятся числа таблицы умножения. Допустим, что мы имеем клетчатый прямоугольник размером M x N, где M - количество строк, а N - количество столбцов.

Для начала, предположим, что каждый слон делает свой ход вправо или вниз на одно и то же расстояние, установленное заранее. Давайте рассмотрим пару клеток под разными слонами. Обозначим их координаты в таблице умножения как (r1, c1) и (r2, c2), где r - номер строки, а c - номер столбца. Расстояние между слонами будет обозначать как d.

Теперь, когда первый слон делает свой ход, он перемещается из клетки (r1, c1) в клетку (r1 + d, c1 + d), а второй слон перемещается из клетки (r2, c2) в клетку (r2 + d, c2 + d). Мы должны определить, осталась ли сумма чисел под ними неизменной.

Сумма чисел, находящихся под первым слоном, можно выразить следующим образом:

\[
S_1 = \sum_{i=r1}^{r1+d} \sum_{j=c1}^{c1+d} i \times j
\]

А сумма чисел, находящихся под вторым слоном, выразится так:

\[
S_2 = \sum_{i=r2}^{r2+d} \sum_{j=c2}^{c2+d} i \times j
\]

Чтобы доказать, что сумма чисел под слонами остается неизменной, необходимо убедиться, что \(S_1 = S_2\). Для этого проведем математические выкладки.

Первое, что мы замечаем, это то, что мы можем переписать обе суммы следующим образом, чтобы каждая сумма представляла себя как двойной сумматор произведений:

\[
S_1 = \sum_{i=r1}^{r1+d} \left( \sum_{j=c1}^{c1+d} i \times j \right)
\]

\[
S_2 = \sum_{i=r2}^{r2+d} \left( \sum_{j=c2}^{c2+d} i \times j \right)
\]

Затем мы можем перегруппировать суммы, чтобы увидеть структуру каждой:

\[
S_1 = \sum_{i=r1}^{r1+d} \left( i \times \sum_{j=c1}^{c1+d} j \right)
\]

\[
S_2 = \sum_{i=r2}^{r2+d} \left( i \times \sum_{j=c2}^{c2+d} j \right)
\]

Теперь мы можем заметить, что сумма чисел внутри сумматора будет одинакова для обоих слонов, так как расстояние между ними постоянно. Обозначим эту сумму как S:

\[
S_1 = \sum_{i=r1}^{r1+d} (i \times S)
\]

\[
S_2 = \sum_{i=r2}^{r2+d} (i \times S)
\]

Заметим также, что внутренний сумматор представляет собой сумму арифметической прогрессии:

\[
\sum_{j=c1}^{c1+d} j = \frac{d}{2} \left( 2c1 + d - 1 \right)
\]

\[
\sum_{j=c2}^{c2+d} j = \frac{d}{2} \left( 2c2 + d - 1 \right)
\]

Подставляя оба значения суммы в выражения для \(S_1\) и \(S_2\), получим:

\[
S_1 = \sum_{i=r1}^{r1+d} \left( i \times \frac{d}{2} \left( 2c1 + d - 1 \right) \right)
\]

\[
S_2 = \sum_{i=r2}^{r2+d} \left( i \times \frac{d}{2} \left( 2c2 + d - 1 \right) \right)
\]

Теперь можем продолжить суммирование, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\[
S_1 = \frac{d}{2} \left( 2c1 + d - 1 \right) \sum_{i=r1}^{r1+d} i
\]

\[
S_2 = \frac{d}{2} \left( 2c2 + d - 1 \right) \sum_{i=r2}^{r2+d} i
\]

\[
S_1 = \frac{d}{2} \left( 2c1 + d - 1 \right) \frac{(r1 + r1 + d) \cdot d}{2}
\]

\[
S_2 = \frac{d}{2} \left( 2c2 + d - 1 \right) \frac{(r2 + r2 + d) \cdot d}{2}
\]

Теперь мы можем привести обе суммы к более простому виду:

\[
S_1 = \frac{d}{2} \left( 2c1 + d - 1 \right) \cdot \frac{(2r1 + d) \cdot d}{2}
\]

\[
S_2 = \frac{d}{2} \left( 2c2 + d - 1 \right) \cdot \frac{(2r2 + d) \cdot d}{2}
\]

Изобразим обе суммы в упрощенном виде с использованием общей переменной S:

\[
S_1 = \frac{d \cdot S \cdot (2r1 + d)}{2}
\]

\[
S_2 = \frac{d \cdot S \cdot (2r2 + d)}{2}
\]

Теперь, чтобы доказать, что сумма чисел под обоими слонами остается неизменной, нам нужно сравнить выражения для \(S_1\) и \(S_2\):

\[
\frac{d \cdot S \cdot (2r1 + d)}{2} = \frac{d \cdot S \cdot (2r2 + d)}{2}
\]

Для того чтобы уравнение было истинным, можно заметить, что сумма S можно сократить с обеих сторон уравнения:

\[
2r1 + d = 2r2 + d
\]

\[
2r1 = 2r2
\]

\[
r1 = r2
\]

Значит, мы доказали, что если каждый из четырех слонов сделал ход внутрь клетчатого прямоугольника на одинаковое расстояние, то сумма чисел, находящихся под ними, остается неизменной.

Надеюсь, данное решение было подробным и понятным. Если у вас есть еще вопросы или требуется дополнительное пояснение, не стесняйтесь спрашивать!