Докажите, что плоская монохроматическая волна Ey=Eoycos(ωt-kx+φ) соответствует волновому уравнению, где υ – скорость

Для доказательства связи между плоской монохроматической волной и волновым уравнением, давайте рассмотрим уравнение электромагнитной волны в вакууме:

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}}=0,$$

где $\mathbf{E}$ - векторный электрический поле, ${\mathrm{\nabla }}^2$ - оператор Лапласа, $c$ - скорость света в вакууме.

Рассмотрим плоскую волну с векторным электрическим полем $\mathbf{E}$, представленным в виде $E_y=E_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )$.

Для удобства продолжения рассмотрения, перепишем данное выражение, используя комплексную форму записи:

$$E_y=\frac{1}{2}{E}_{oy}{e}^{i(\omega t-kx+\phi )}+\frac{1}{2}{E}_{oy}{e}^{-i(\omega t-kx+\phi )}.$$

Теперь мы можем записать векторное поле $\mathbf{E}$ как:

$$\mathbf{E}=\frac{1}{2}{\mathbf{E}}_{\mathbf{o}}{e}^{i(\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+\phi )}+\frac{1}{2}{\mathbf{E}}_{\mathbf{o}}{e}^{-i(\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}+\phi )},$$

где ${\mathbf{E}}_{\mathbf{o}}$ - комплексная амплитуда поля, $\mathbf{k}$ - волновой вектор, $\mathbf{r}$ - вектор расстояния. Также, мы использовали факт, что $x$ - это только одна из координат, и в общем случае $x$ может быть заменено на вектор $\mathbf{r}$.

Теперь, применив оператор Лапласа к нашему векторному полю $\mathbf{E}$, получим:

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}=-k^2\mathbf{E}.$$

Здесь мы использовали свойства оператора Лапласа и тот факт, что $\mathbf{k}$ - волновой вектор, а его модуль $k$ связан с частотой $\omega$ и скоростью света в вакууме $c$ следующим образом: $k=\frac{\omega }{c}$.

Далее, заменяем ${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}$ и ${\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}}$ в волновом уравнении на полученные значения:

$$-k^2\mathbf{E}-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}}=0.$$

Учитывая экспоненциальную форму записи векторного поля $\mathbf{E}$, для дальнейшего упрощения рассмотрим его проекцию $E_y$:

$${\mathrm{\nabla }}^2{E}_y-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}}=0.$$

Заменяем $E_y$ на $E_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )$:

$$-k^2{E}_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}}(E_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi ))=0.$$

Раскрываем вторую производную по времени и получаем:

$$-k^2{E}_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{E}_{oy}(-{\omega }^2\cos (\omega t-kx+\phi ))=0.$$

Выносим общий множитель $E_{oy}$ за скобки:

$$(-k^2+{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{c^2}})E_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )=0.$$

Таким образом, мы получаем выражение в скобках, равное нулю:

$$-k^2+{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{c^2}}=0.$$

Или:

$$k^2={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{c^2}}.$$

Итак, мы получили, что вещественное условие на волновой вектор $k$ соответствует связи между частотой $\omega$ и скоростью света в вакууме $c$:

$$k={\displaystyle \frac{\omega }{c}}.$$

Таким образом, показано, что плоская монохроматическая волна $E_y=E_{oy}\cos (\omega t-kx+\phi )$ удовлетворяет волновому уравнению ${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}}=0$ при условии $k={\displaystyle \frac{\omega }{c}}$, что представляет собой скорость распространения фазы электромагнитных волн.