Докажите, что плоская монохроматическая волна Ey=Eoycos(ωt-kx+φ) соответствует волновому уравнению, где υ – скорость

Для доказательства связи между плоской монохроматической волной и волновым уравнением, давайте рассмотрим уравнение электромагнитной волны в вакууме:

\[\nabla^2\mathbf{E} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0,\]

где \(\mathbf{E}\) - векторный электрический поле, \(\nabla^2\) - оператор Лапласа, \(c\) - скорость света в вакууме.

Рассмотрим плоскую волну с векторным электрическим полем \(\mathbf{E}\), представленным в виде \(E_y = E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi)\).

Для удобства продолжения рассмотрения, перепишем данное выражение, используя комплексную форму записи:

\[E_y = \frac{1}{2}E_{oy}e^{i(\omega t - kx + \varphi)} + \frac{1}{2}E_{oy}e^{-i(\omega t - kx + \varphi)}.\]

Теперь мы можем записать векторное поле \(\mathbf{E}\) как:

\[\mathbf{E} = \frac{1}{2}\mathbf{E_o}e^{i(\omega t - \mathbf{k \cdot r} + \varphi)} + \frac{1}{2}\mathbf{E_o}e^{-i(\omega t - \mathbf{k \cdot r} + \varphi)},\]

где \(\mathbf{E_o}\) - комплексная амплитуда поля, \(\mathbf{k}\) - волновой вектор, \(\mathbf{r}\) - вектор расстояния. Также, мы использовали факт, что \(x\) - это только одна из координат, и в общем случае \(x\) может быть заменено на вектор \(\mathbf{r}\).

Теперь, применив оператор Лапласа к нашему векторному полю \(\mathbf{E}\), получим:

\[\nabla^2\mathbf{E} = -k^2\mathbf{E}.\]

Здесь мы использовали свойства оператора Лапласа и тот факт, что \(\mathbf{k}\) - волновой вектор, а его модуль \(k\) связан с частотой \(\omega\) и скоростью света в вакууме \(c\) следующим образом: \(k = \frac{\omega}{c}\).

Далее, заменяем \(\nabla^2\mathbf{E}\) и \(\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\) в волновом уравнении на полученные значения:

\[-k^2\mathbf{E} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0.\]

Учитывая экспоненциальную форму записи векторного поля \(\mathbf{E}\), для дальнейшего упрощения рассмотрим его проекцию \(E_y\):

\[\nabla^2E_y - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2E_y}{\partial t^2} = 0.\]

Заменяем \(E_y\) на \(E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi)\):

\[-k^2E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi) - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\left(E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi)\right) = 0.\]

Раскрываем вторую производную по времени и получаем:

\[-k^2E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi) + \dfrac{1}{c^2}E_{oy}\left(-\omega^2\cos(\omega t - kx + \varphi)\right) = 0.\]

Выносим общий множитель \(E_{oy}\) за скобки:

\[\left(-k^2 + \dfrac{\omega^2}{c^2}\right)E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi) = 0.\]

Таким образом, мы получаем выражение в скобках, равное нулю:

\[-k^2 + \dfrac{\omega^2}{c^2} = 0.\]

Или:

\[k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2}.\]

Итак, мы получили, что вещественное условие на волновой вектор \(k\) соответствует связи между частотой \(\omega\) и скоростью света в вакууме \(c\):

\[k = \dfrac{\omega}{c}.\]

Таким образом, показано, что плоская монохроматическая волна \(E_y = E_{oy}\cos(\omega t - kx + \varphi)\) удовлетворяет волновому уравнению \(\nabla^2\mathbf{E} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0\) при условии \(k = \dfrac{\omega}{c}\), что представляет собой скорость распространения фазы электромагнитных волн.