Докажите, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см при условии, что периметр треугольника ABC равен 8

Давайте посмотрим на треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP. Мы можем записать неравенства, используя стороны этих треугольников, которые также являются сторонами шестиугольника PKLMNR:

1. Для треугольника PAK: периметр PK < длина стороны PA + длина стороны AK
В нашем случае это будет: PK < PA + AK

2. Для треугольника KDL: периметр KL < длина стороны LD + длина стороны DK
В нашем случае это будет: KL < LD + DK

3. Для треугольника LBM: периметр LM < длина стороны MB + длина стороны BM
В нашем случае это будет: LM < MB + BM

4. Для треугольника MEN: периметр MN < длина стороны NE + длина стороны EM
В нашем случае это будет: MN < NE + EM

5. Для треугольника NCR: периметр NR < длина стороны RC + длина стороны CN
В нашем случае это будет: NR < RC + CN

6. Для треугольника RFP: периметр RP < длина стороны PF + длина стороны FR
В нашем случае это будет: RP < PF + FR

Теперь перейдем ко второй части вопроса:

Если сложить левые и правые стороны всех указанных неравенств, мы получим следующее неравенство:

PK + KL + LM + MN + NR + RP < PA + AK + LD + DK + MB + BM + NE + EM + RC + CN + PF + FR

Так как периметр треугольника ABC составляет 8 см, а периметр треугольника DEF составляет 10 см, мы можем заменить значения сторон, используя данные из условия:

PK + KL + LM + MN + NR + RP < 8 + 10

Таким образом, мы получаем:

Периметр шестиугольника PKLMNR < 18 см

Но из условия задачи у нас имеется ограничение, что периметр шестиугольника PKLMNR должен быть меньше 9 см. Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см.