Докажите, что отношение иметь один и тот же остаток при делении на 3 на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) является

Для того чтобы доказать, что отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве \(x = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) является отношением эквивалентности, необходимо проверить три основных свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

1. Рефлексивность:
Для каждого элемента \(a\) из множества \(x\) должно верно, что \(a\) имеет тот же остаток при делении на 3, что и он сам. Например, \(1\) и \(4\) имеют остаток \(1\) при делении на \(3\), а \(3\) имеет остаток \(0\) при делении на \(3\). Таким образом, свойство рефлексивности выполняется.

2. Симметричность:
Если \(a\) и \(b\) имеют один и тот же остаток при делении на \(3\), это означает, что \(b\) также имеет тот же остаток при делении на \(3\), что и \(a\). Например, \(2\) и \(5\) имеют остаток \(2\) при делении на \(3\). Обратное также верно: \(5\) и \(2\) также имеют остаток \(2\) при делении на \(3\). Таким образом, свойство симметричности выполняется.

3. Транзитивность:
Если \(a\) и \(b\) имеют один и тот же остаток при делении на \(3\), а также \(b\) и \(c\) имеют один и тот же остаток при делении на \(3\), то \(a\) и \(c\) также должны иметь один и тот же остаток при делении на \(3\). Например, \(4\) и \(7\) имеют остаток \(1\) при делении на \(3\), а \(7\) и \(10\) имеют остаток \(1\) при делении на \(3\). Следовательно, \(4\) и \(10\) также имеют остаток \(1\) при делении на \(3\). Таким образом, свойство транзитивности выполняется.

Так как все три свойства для данного отношения выполняются, можем заключить, что отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве \(x\) является отношением эквивалентности.

Перечислим теперь все классы эквивалентности, на которые разбивается данное множество:
Класс эквивалентности для элемента \(1\): \(\{1, 4, 7, 10\}\)
Класс эквивалентности для элемента \(2\): \(\{2, 5, 8\}\)
Класс эквивалентности для элемента \(3\): \(\{3, 6, 9\}\)

Таким образом, имеется три класса эквивалентности.