Докажите, что отмеченные сегменты АВ и СD имеют одинаковую длину в квадрате 3x3 клетки, как показано на иллюстрациях

Для доказательства того, что сегменты AB и CD имеют одинаковую длину, мы можем воспользоваться Теоремой Фалеса.

Теорема Фалеса гласит, что если мы проведем параллельные линии через две стороны треугольника и соединим соответствующие точки пересечения, то полученные отрезки будут иметь одинаковые пропорции с соответствующими сторонами треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC в квадрате 3x3 клетки:

\[
\begin{array}{ccccccc}
A & & & B & & & C\\
& & & & & & \\
D & & & & & & E\\
& & & & & & \\
F & & & G & & & H
\end{array}
\]

Проведем параллельные линии через AB и CD:

\[
\begin{array}{ccccccc}
A & & K & B & & & C\\
& & & & & & \\
D & & L & & & & E\\
& & & & & & \\
F & & M & G & & & H
\end{array}
\]

Обратим внимание на треугольники ADF и CGE. По Теореме Фалеса, мы можем утверждать, что:

\[
\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{DL}}{{LE}} = \frac{{AF}}{{FG}}
\]

Также, из параллельности линий АВ и CD, мы знаем, что угол A и угол C равны (как вертикальные углы). Значит, угол ADF равен углу CGE (как соответственные углы).

Таким образом, по теореме о равных углах, мы можем утверждать, что треугольники ADF и CGE подобны.

Однако, квадратные клетки гарантируют нам равенство сторон, поэтому мы можем сделать вывод, что сегменты AB и CD имеют одинаковую длину:

\[
AB = CD
\]

Таким образом, мы успешно доказали, что отмеченные сегменты АВ и СD имеют одинаковую длину в квадрате 3x3 клетки, используя Теорему Фалеса.