Какова наименьшая возможная сумма MХ + ХK для точки Х, принадлежащей прямой, при условии, что перпендикуляры MM1

Давайте решим данную задачу пошагово.

1) Дано, что перпендикуляры MM1 и KK1, опущенные из точки Х на прямую b, равны 5 см и 3 см соответственно. Обозначим эти отрезки как MM1 = 5 и KK1 = 3.

2) Пусть ХM1 и ХK1 - отрезки, соединяющие точку Х с концами перпендикуляров MM1 и KK1. Тогда нам нужно найти минимальную сумму MХ + ХK.

3) Расстояние между точками M1 и K1 равно, но нам не дано, сколько оно составляет. Обозначим данное расстояние как M1K1 = d.

4) Так как MM1 и KK1 являются перпендикулярами к прямой b, они образуют прямоугольный треугольник M1HK1, где H - точка пересечения перпендикуляров.

5) В прямоугольном треугольнике M1HK1, применим теорему Пифагора. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть M1H^2 + HK1^2 = M1K1^2.

6) Подставим известные значения. Тогда получим M1H^2 + HK1^2 = d^2.

7) Заметим, что MХ + ХK равно M1H + HK1.

8) Так как M1H + HK1 исторически является гипотенузой прямоугольного треугольника M1HK1, то мы можем применить теорему Пифагора повторно: (M1H + HK1)^2 = M1H^2 + HK1^2.

9) Подставим известные значения. Тогда получим (M1H + HK1)^2 = d^2.

10) Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: M1H^2 + 2M1H*HK1 + HK1^2 = d^2.

11) Заметим, что у нас уже есть выражение M1H^2 + HK1^2 = d^2 из шага 6. Подставим его в уравнение, получим 2M1H*HK1 + M1H^2 + HK1^2 = (M1H^2 + HK1^2) + d^2.

12) Упростим уравнение: 2M1H*HK1 + M1H^2 + HK1^2 = d^2 + d^2.

13) Далее раскроем скобки и упростим уравнение: 2M1H*HK1 + M1H^2 + HK1^2 = 2d^2.

14) Обратимся к нашему исходному вопросу: Какова наименьшая возможная сумма MХ + ХK для точки Х, принадлежащей прямой? Мы выразили M1H + HK1 через d и можем заметить, что сумма M1H + HK1 будет минимальной, когда разность M1H и HK1 будет наименьшей.

15) Так как M1H + HK1 равно MХ + ХK, это означает, что MХ + ХK будет минимальным, когда M1H и HK1 будут равными.

16) Значит, M1H = HK1. Пусть это значение равно x.

17) Подставим x в уравнение из шага 13: 2x*x + x^2 + x^2 = 2d^2.

18) Раскроем скобки и упростим уравнение: 4x^2 + 2x^2 = 2d^2.

19) Объединим подобные слагаемые: 6x^2 = 2d^2.

20) Делим обе части уравнения на 2: 3x^2 = d^2.

21) Возведем обе части уравнения в квадратный корень: \(\sqrt{3x^2} = \sqrt{d^2}\).

22) Упростим: \(\sqrt{3}x = d\).

23) Получили выражение для d через x: d = \(\sqrt{3}x\).

24) Теперь, чтобы узнать наименьшую возможную сумму MХ + ХK, найдем минимальное значение x. Оно будет равно половине длины меньшего из перпендикуляров MM1 и KK1.

25) Меньший из перпендикуляров - это перпендикуляр KK1, длиной 3 см. Половина его длины будет 1,5 см. Значит, x = 1,5.

26) Подставим полученное значение x обратно в выражение для d: d = \(\sqrt{3}*1,5\).

27) Вычислим значение d: d = \(\sqrt{3*2,25}\) = \(\sqrt{6,75}\) = 2,598 см.

28) Теперь мы можем вычислить сумму MХ + ХK: MХ + ХK = M1H + HK1 = 2x = 2*1,5 = 3 см.

Таким образом, наименьшая возможная сумма MХ + ХK для точки Х, принадлежащей прямой, составляет 3 см.