1. Перестройте график функции y=2x^2-5x+3. Укажите (если необходимо): a) Координаты точек, где график функции

Хорошо, для начала перестроим график функции \(y=2x^2-5x+3\).

a) Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, возьмем \(y\) равным нулю и решим уравнение:
\[2x^2-5x+3=0.\]

Используя квадратное уравнение, получим:
\[x=\frac{{-b\pm\sqrt{{b^2-4ac}}}}{2a}.\]

Подставляя значения \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\), получим два значения \(x\):
\[x_1=\frac{{5+\sqrt{{5^2-4\cdot2\cdot3}}}}{2\cdot2} \approx 2.5,\]
\[x_2=\frac{{5-\sqrt{{5^2-4\cdot2\cdot3}}}}{2\cdot2} \approx 0.5.\]

Таким образом, точки, где график функции пересекает ось \(x\), имеют координаты \((2.5, 0)\) и \((0.5, 0)\), а точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0, 3)\).

b) Чтобы найти ось симметрии графика, можно использовать формулу \(x=-\frac{b}{2a}\). В данном случае, \(a=2\) и \(b=-5\), поэтому ось симметрии имеет уравнение \(x=-\frac{-5}{2\cdot2}\), что равно \(x=\frac{5}{4}\).

c) Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти вершину параболы, поскольку это парабола ветвями вверх. Воспользуемся формулой для вершины параболы: \(x=-\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a=2\) и \(b=-5\), поэтому наименьшее значение функции будет достигаться при \(x=-\frac{-5}{2\cdot2}\), или \(x=\frac{5}{4}\). Подставим этот \(x\) в исходную функцию, чтобы найти \(y\):
\[y=2\left(\frac{5}{4}\right)^2-5\cdot\frac{5}{4}+3\approx -\frac{1}{8}.\]

Таким образом, наименьшее значение функции равно приблизительно \(-\frac{1}{8}\).

d) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция принимает значения больше 0, нужно решить неравенство \(2x^2-5x+3>0\). Можно решить это неравенство с помощью графика, факторизации или метода интервалов. Если мы используем метод интервалов, можно заметить, что вершина параболы находится выше оси \(x\), поэтому интервал возрастания функции будет между корнями уравнения \(2x^2-5x+3=0\). Из предыдущего пункта, у нас есть корни \(x_1=2.5\) и \(x_2=0.5\). Так как парабола ветвями вверх, то функция положительна в интервале между этими корнями. Поэтому, значения \(x\), при которых функция принимает значения больше 0, находятся в интервале \((0.5, 2.5)\).

e) Для определения интервалов возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной. Производная функции \(y=2x^2-5x+3\) равна \(y"=4x-5\). Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно найти значения \(x\), при которых \(y"\) равно 0, и проверить знаки между этими значениями.

Устанавливаем \(4x-5=0\), и получаем \(x=\frac{5}{4}\).

Таким образом, ось симметрии функции и точка минимума графика находятся в одной точке: \(\left(\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)\).

Мы можем построить таблицу знаков для производной \(y"=4x-5\):

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & \frac{5}{4} & +\infty \\
\hline
y" & - & 0 & + \\
\end{array}
\]

Из этой таблицы знаков можно увидеть, что \(y"\) отрицательна до \(x=\frac{5}{4}\) и положительна после \(x=\frac{5}{4}\).

Таким образом, функция возрастает на интервале \(\left(-\infty, \frac{5}{4}\right)\) и убывает на интервале \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\).