Докажите, что функция y=3tgx увеличивается в ​​интервале (-п/2

Для доказательства того, что функция \(y = 3\tan{x}\) увеличивается в интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), мы можем использовать производную функции и анализировать ее знак на данном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 3\tan{x}\). Для этого применим правило дифференцирования для тангенса:

\[
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= 3\sec^2{x} \quad \text{, где } \sec^2{x} = \frac{1}{{\cos^2{x}}}
\end{align*}
\]

Шаг 2: Выразим производную в терминах синуса и косинуса:

Так как \(\sec^2{x} = \frac{1}{{\cos^2{x}}}\), заменив \(\cos^2{x}\) в числителе, получим:

\[
\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{{\cos^2{x}}} = \frac{3}{{\cos^2{x}}}
\]

Шаг 3: Проанализируем знак производной на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\):

Для этого рассмотрим знак \(\cos^2{x}\) на данном интервале. Вспомним, что значение \(\cos^2{x}\) всегда положительно или равно нулю. Ноль достигается только при \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = -\frac{\pi}{2}\). В остальных случаях, \(\cos^2{x}\) положительно.

Теперь, зная знаки факторов в выражении \(\frac{3}{{\cos^2{x}}}\) - 3 положительно и \(\cos^2{x}\) положительно на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) - можем заключить, что производная \(\frac{dy}{dx}\) всегда положительна на данном интервале.

Шаг 4: Итак, получили, что производная \(\frac{dy}{dx}\) положительна на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\). Это означает, что функция \(y = 3\tan{x}\) увеличивается на этом интервале.

Таким образом, мы доказали, что в интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) функция \(y = 3\tan{x}\) увеличивается.