Докажите, что дробь (3a)/(a+2b) больше дроби

Понятно, давайте решим данную задачу подробно.

Дано: Дробь \(\dfrac{3a}{a+2b}\)

Мы должны доказать, что эта дробь больше дроби \(\dfrac{2a}{a+3b}\).

Чтобы решить данную задачу, нам нужно сравнить числители и знаменатели обеих дробей.

Поделим оба числителя на знаменатель, чтобы упростить дроби:

Для первой дроби:
\(\dfrac{3a}{a+2b}\) = \(\dfrac{3a}{a} \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}\) = \(3 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}\)

Для второй дроби:
\(\dfrac{2a}{a+3b}\) = \(\dfrac{2a}{a} \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{3b}{a}}\) = \(2 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{3b}{a}}\)

Теперь у нас есть упрощенные выражения для обеих дробей.

Для того чтобы доказать, что первая дробь больше второй, нам нужно показать, что \(3 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}\) больше, чем \(2 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{3b}{a}}\).

Распишем это неравенство:

\(3 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}} > 2 \cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{3b}{a}}\)

Умножим обе части неравенства на \((1+\dfrac{2b}{a})\) и на \((1+\dfrac{3b}{a})\):

\(3 > 2 \cdot (1+\dfrac{3b}{a}) \cdot (1+\dfrac{2b}{a})\)

Раскроем скобки:

\(3 > 2 \cdot (1 + \dfrac{3b}{a} + \dfrac{2b}{a} + \dfrac{6b^2}{a^2})\)

Упростим выражение:

\(3 > 2 + \dfrac{5b}{a} + \dfrac{6b^2}{a^2}\)

Теперь, чтобы доказать, что это неравенство верно, нам нужно сравнить каждый член неравенства.

Сначала сравним числитель:

\(3 > 2\)

Это верно.

Затем сравним каждый член знаменателя:

\(\dfrac{5b}{a} > 0\) (так как \(b\) и \(a\) положительные числа)

\(\dfrac{6b^2}{a^2} > 0\) (так как \(b\) и \(a\) положительные числа)

Таким образом, каждый член неравенства больше нуля.

Итак, мы получили, что все условия неравенства выполняются, следовательно, дробь \(\dfrac{3a}{a+2b}\) больше дроби \(\dfrac{2a}{a+3b}\).

Мы успешно доказали, что \(\dfrac{3a}{a+2b}\) больше дроби \(\dfrac{2a}{a+3b}\).