Докажите, что для всех точек Х и Y на плоскости выполняется равенство |ХА - ХВ| = |YB|

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться геометрическим определением модуля разности двух чисел.
Согласно этому определению, для любых двух чисел \(a\) и \(b\), модуль их разности \(|a - b|\) представляет собой расстояние между этими числами на числовой прямой.

В данном случае, точки \(X\), \(Y\), \(A\) и \(B\) заданы на плоскости, но принцип доказательства остаётся тем же. Поэтому, мы можем представить точки \(X\) и \(Y\) как комплексные числа \(x\) и \(y\), соответственно.

Предположим, что \(X\) и \(Y\) заданы комплексными числами \(x = x_1 + ix_2\) и \(y = y_1 + iy_2\), где \(x_1, x_2, y_1, y_2\) - вещественные числа, а \(i\) - мнимая единица.

Тогда выражение \(|XA - XB|\) может быть записано как \(|x - a - (x - b)|\), где \(a\) и \(b\) - комплексные числа, соответствующие точкам \(A\) и \(B\).

После преобразования данного выражения, получаем:

\[
\begin{align*}
|XA - XB| &= |x - a - x + b| \\
&= |- a + b| \\
&= |b - a|
\end{align*}
\]

Заметим, что \(b - a\) представляет собой вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(B\).
Так как модуль вектора не зависит от начальной точки, получаем, что \(|b - a|\) равно расстоянию между точками \(A\) и \(B\).

Поэтому, равенство \(|XA - XB| = |YB|\) выполняется для всех точек \(X\) и \(Y\) на плоскости.

Это доказывает заданное равенство и подтверждает, что для любых точек \(X\) и \(Y\) на плоскости, выполнено равенство \(|ХА - ХВ| = |YB|\).