На трех лучах, выходящих из точки Е и не лежащих в одной плоскости, выбраны отрезки АА1, ВВ1 и СС1. При этом, отношения

Если отношение ЕА:ЕА1, ЕВ:ЕВ1 и ЕС:ЕС1 равны 1:5, то можно предположить, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 имеют следующие пропорции: АА1 = 1x, ВВ1 = 5x и СС1 = 5x, где x - некоторая длина.

а) Доказательство параллельности плоскости АВ1С1 и плоскости А1ВС:
Рассмотрим треугольник ЕАА1. Так как ЕА:ЕА1 = 1:5, то отношение длины стороны ЕА к стороне АА1 равно 1:5.
Рассмотрим треугольник ЕВВ1. Так как ЕВ:ЕВ1 = 1:5, то отношение длины стороны ЕВ к стороне ВВ1 равно 1:5.
Рассмотрим треугольник ЕСС1. Так как ЕС:ЕС1 = 1:5, то отношение длины стороны ЕС к стороне СС1 равно 1:5.

Таким образом, треугольники ЕАА1, ЕВВ1 и ЕСС1 подобны друг другу, так как соответственные стороны имеют одинаковые отношения. Из этого следует, что углы при вершинах Е в этих треугольниках также равны.

Теперь рассмотрим плоскости АВ1С1 и А1ВС. Пусть они пересекаются по прямой m. Проведем через точку E плоскость, параллельную плоскостям АВ1С1 и А1ВС. Пусть она пересекает сторону А1В в точке X. Тогда, по свойству параллельных плоскостей, углы между прямой m и сторонами А1В и АВ1 будут равны.

Рассмотрим треугольники ЕА1X и ЕВ1В. Угол между прямой m и стороной А1В будет равен углу между прямой m и стороной ВВ1, так как они параллельны. Также угол между прямой m и стороной ЕА1 будет равен углу между прямой m и стороной ЕВ1, так как они параллельны.

Получается, что треугольники ЕА1X и ЕВ1В подобны друг другу по двум углам. Таким образом, сторона ЕА1 будет пропорциональна стороне ЕЕ1 с коэффициентом пропорциональности 1:5.

Так как отношение ЕА:ЕА1 = 1:5, то прямая m будет параллельна плоскостям А1В1С1 и ВС1C, так как у неё будут равные углы со сторонами А1В1 и ВС1.

б) Доказательство содержания точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 на прямой, проходящей через точки пересечения медиан треугольников:
Рассмотрим треугольник АВС и его медианы. Медианы треугольника пересекаются в точке G, которая делит каждую медиану в соотношении 2:1 относительно своей длины от вершины треугольника.

Рассмотрим треугольник А1В1С1 и его медианы. Так как сторона А1В1 параллельна стороне АВ, а сторона С1С параллельна стороне СС1, то медианы треугольника А1В1С1 также пересекаются в точке G1, которая делит каждую медиану в соотношении 2:1 относительно своей длины от вершины треугольника.

Таким образом, точка пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 лежит на прямой, проходящей через точки G и G1.

И это все обоснование ответа, школьник должен понять и запомнить его. Если у него есть вопросы, он может задать и я постараюсь помочь ему.