Докажите, что для всех допустимых значений переменной а значение выражения: (4a - 4 - a^2) / (a^4

Хорошо! Давайте решим данную задачу. Нам нужно доказать, что для всех допустимых значений переменной \(a\) верно следующее выражение:

\[
\frac{{4a - 4 - a^2}}{{a^4}}
\]

Для начала, давайте преобразуем это выражение для упрощения. Мы можем начать с факторизации числителя:

\[
4a - 4 - a^2 = - (a^2 - 4a + 4)
\]

Далее, заметим, что выражение в скобках — это квадрат разности двух слагаемых:

\[
a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2
\]

Теперь наше выражение выглядит следующим образом:

\[
\frac{{-(a-2)^2}}{{a^4}}
\]

Теперь мы можем разложить это выражение на два множителя. Наш числитель является квадратом, поэтому мы можем использовать свойство квадратов разности:

\[
-(a-2)^2 = -(a^2 - 4a + 4) = -a^2 + 4a - 4
\]

Таким образом, наше исходное выражение можно переписать как:

\[
\frac{{-(a-2)^2}}{{a^4}} = \frac{{-a^2 + 4a - 4}}{{a^4}}
\]

Теперь мы можем разложить числитель на три отдельных слагаемых:

\[
\frac{{-a^2 + 4a - 4}}{{a^4}} = \frac{{-a^2}}{{a^4}} + \frac{{4a}}{{a^4}} - \frac{{4}}{{a^4}}
\]

Затем, мы можем упростить каждую дробь, выделив общий множитель в знаменателе:

\[
\frac{{-a^2}}{{a^4}} + \frac{{4a}}{{a^4}} - \frac{{4}}{{a^4}} = -\frac{{1}}{{a^2}} + \frac{{4}}{{a^3}} - \frac{{4}}{{a^4}}
\]

Таким образом, мы получили упрощенное выражение. Мы доказали, что для всех допустимых значений переменной \(a\) выражение \(\frac{{4a - 4 - a^2}}{{a^4}}\) равно \(-\frac{{1}}{{a^2}} + \frac{{4}}{{a^3}} - \frac{{4}}{{a^4}}\).

Я надеюсь, что ответ был понятен и полезен для вас.