Докажите, что для любого натурального числа n выражение 49^n-25^n делится на 24, выражение 6^2n-2^2n делится на

Для решения этой задачи мы будем использовать метод математической индукции. Давайте начнем с доказательства первого утверждения: выражение \(49^n - 25^n\) делится на 24 для любого натурального числа \(n\).

Шаг 1: Базовый случай
Для \(n = 1\) утверждение верно. Подставим \(n = 1\) в выражение:
\[49^1 - 25^1 = 49 - 25 = 24\]
24 делится на 24. Базовый случай доказан.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого \(k \geq 1\) выражение \(49^k - 25^k\) делится на 24.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что это верно и для \(k + 1\). Разложим выражение для \(k + 1\):
\[49^{k+1} - 25^{k+1} = 49 \cdot 49^k - 25 \cdot 25^k\]
\[= (48+1)(49^k) - (24+1)(25^k)\]
\[= 48 \cdot 49^k + 1 \cdot 49^k - 24 \cdot 25^k - 1 \cdot 25^k\]
\[= 48 \cdot 49^k - 24 \cdot 25^k + 1 \cdot 49^k - 1 \cdot 25^k\]

Теперь мы можем сгруппировать члены для упрощения:
\[= 24(2 \cdot 49^k - 25^k) + (49^k - 25^k)\]

Первое слагаемое \(24(2 \cdot 49^k - 25^k)\) является кратным 24 по предположению индукции. Остается только доказать, что \((49^k - 25^k)\) также кратно 24.

По предположению индукции выражение \((49^k - 25^k)\) кратно 24. Поэтому, если первое слагаемое кратно 24, а второе слагаемое также кратно 24, то их сумма также будет кратна 24. Таким образом, \(49^{k+1} - 25^{k+1}\) делится на 24.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что выражение \(49^n - 25^n\) делится на 24 для любого натурального числа \(n\).

Теперь перейдем ко второму утверждению: выражение \(6^{2n} - 2^{2n}\) делится на 32.

Шаг 1: Базовый случай
Для \(n = 1\) утверждение верно. Подставим \(n = 1\) в выражение:
\[6^{2 \cdot 1} - 2^{2 \cdot 1} = 36 - 4 = 32\]
32 делится на 32. Базовый случай доказан.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого \(k \geq 1\) выражение \(6^{2k} - 2^{2k}\) делится на 32.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что это верно и для \(k + 1\). Разложим выражение для \(k + 1\):
\[6^{2(k+1)} - 2^{2(k+1)} = 6^{2k+2} - 2^{2k+2}\]
\[= (6^2)^k \cdot 6^2 - (2^2)^k \cdot 2^2\]
\[= (36)^k \cdot 36 - (4)^k \cdot 4\]

Теперь мы можем сгруппировать члены для упрощения:
\[= 32(36^k - 4^k) + (36^k - 4^k)\]

Первое слагаемое \(32(36^k - 4^k)\) является кратным 32 по предположению индукции. Остается только доказать, что \((36^k - 4^k)\) также кратно 32.

По предположению индукции выражение \((36^k - 4^k)\) кратно 32. Поэтому, если первое слагаемое кратно 32, а второе слагаемое также кратно 32, то их сумма также будет кратна 32. Таким образом, \(6^{2(k+1)} - 2^{2(k+1)}\) делится на 32.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что выражение \(6^{2n} - 2^{2n}\) делится на 32.

Перейдем теперь к третьему утверждению: выражение \(13^n + 3^n + 2\) кратно 5.

Мы можем доказать это утверждение, рассмотрев три случая в зависимости от остатка \(n\) при делении на 4.

Случай 1: \(n\) делится на 4.
Если \(n\) делится на 4, то мы можем записать \(n\) в виде \(n = 4k\), где \(k\) - некое целое число.

Тогда выражение становится:
\[13^{4k} + 3^{4k} + 2\]
По свойству четной степени \(a^{2m}\) всегда является квадратом числа, поэтому \(13^{4k}\) и \(3^{4k}\) являются точными квадратами.
\[13^{4k} = (13^{2k})^2\]
\[3^{4k} = (3^{2k})^2\]
Таким образом, выражение можно переписать в виде:
\[(13^{2k})^2 + (3^{2k})^2 + 2\]

Для любого целого числа \(x\) квадрат \(x^2\) всегда имеет остаток 0 или 1 при делении на 5. Поэтому сумма двух квадратов \((13^{2k})^2 + (3^{2k})^2\) всегда имеет остаток 0, 1 или 2 при делении на 5. Прибавление числа 2 не изменит этот остаток. Таким образом, для случая, когда \(n\) делится на 4, выражение \(13^n + 3^n + 2\) кратно 5.

Случай 2: \(n\) принадлежит к множеству {1, 2, 3}
В этих случаях мы можем просто подставить значения \(n\) в выражение и проверить, что оно кратно 5:
\[n = 1: 13^1 + 3^1 + 2 = 13 + 3 + 2 = 18\]
\[n = 2: 13^2 + 3^2 + 2 = 169 + 9 + 2 = 180\]
\[n = 3: 13^3 + 3^3 + 2 = 2197 + 27 + 2 = 2226\]

В каждом из этих случаев значение выражения делится на 5.

Случай 3: \(n\) имеет остаток 0 при делении на 4, но не делится на 4.
Этот случай аналогичен первому случаю, поскольку выражение будет иметь тот же вид \(13^{4k} + 3^{4k} + 2\), и мы уже показали, что оно кратно 5 для случая, когда \(n\) делится на 4.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и доказали, что выражение \(13^n + 3^n + 2\) кратно 5 для любого натурального числа \(n\).

В итоге, мы доказали все три утверждения:

1. \(49^n - 25^n\) делится на 24.
2. \(6^{2n} - 2^{2n}\) делится на 32.
3. \(13^n + 3^n + 2\) кратно 5.

Надеюсь, это доказательство было понятным и полезным для школьников. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!