Докажите, что длины отрезков AC и KB равны друг другу в треугольнике

Question

Математика: Докажите, что длины отрезков AC и KB равны друг другу в треугольнике ABC, где AL является биссектрисой угла A, точка K выбрана на стороне AB так, что ∠ACK=∠ABC, и ∠CLK=∠BKC. Максимально подробное

Пылающий_Жар-птица · Accepted Answer

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC.

Мы знаем, что AL является биссектрисой угла A, а ∠ACK=∠ABC.

Из этих сведений мы можем сделать следующие выводы:

1. Треугольники ACK и ABC подобны по теореме угол-угол (УУ).
2. Поэтому отношение длины стороны AC к длине стороны AB равно отношению длины стороны CK к длине стороны BC:

\frac{A C}{A B} = \frac{C K}{B C}

Теперь рассмотрим треугольник BKC.

У нас есть ∠CLK=∠BKC.

Следовательно, треугольники CLK и BKC подобны по теореме угол-угол (УУ).

Отсюда мы можем сделать еще один вывод:

3. Отношение длины стороны BC к длине стороны BK равно отношению длины стороны CL к длине стороны CK:

\frac{B C}{B K} = \frac{C L}{C K}

Теперь объединим наши выводы.

Мы знаем, что

\frac{A C}{A B} = \frac{C K}{B C}

(из вывода 2) и

\frac{B C}{B K} = \frac{C L}{C K}

(из вывода 3).

Умножим обе части первого равенства на

\frac{B C}{C K}

:

\frac{A C}{A B} \cdot \frac{B C}{C K} = \frac{C K}{B C} \cdot \frac{B C}{C K}

После сокращений получим:

\frac{A C}{A B} \cdot B C = C K

Теперь умножим обе части второго равенства на

\frac{A B}{B C}

:

\frac{B C}{B K} \cdot \frac{A B}{B C} = \frac{C L}{C K} \cdot \frac{A B}{B C}

После сокращений получим:

A B = C L

Таким образом, из вывода 1 и последних двух равенств следует, что

A C = B K

, что и требовалось доказать.

Мы показали, что длины отрезков AC и KB равны друг другу в треугольнике ABC, используя свойства подобных треугольников и равенства отношений соответствующих сторон.

Докажите, что длины отрезков AC и KB равны друг другу в треугольнике ABC, где AL является биссектрисой угла A, точка

Пылающий_Жар-птица

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!