Докажите, что число, содержащее цифры 1, 3, 7, 9 и большее 10, делится на простое число, которое является больше

Чтобы доказать, что число, содержащее цифры 1, 3, 7, 9 и большее 10, делится на простое число, которое является больше, чем само число, мы можем воспользоваться доказательством по принципу Дирихле.

Принцип Дирихле утверждает, что если имеется \(n + 1\) объектов, и каждый из них должен быть распределен между \(n\) ящиками, то по крайней мере один ящик должен содержать два и более объектов.

В нашем случае, объектами будут являться числа, содержащие только цифры 1, 3, 7, 9, и большие чем 10, а ящиками будут простые числа, большие чем эти числа.

Предположим, что у нас есть число \(x\), которое отвечает всем условиям задачи, и пусть это число не делится ни на одно простое число, большее, чем само число \(x\).

Рассмотрим последовательность чисел \(x, 2x, 3x, 4x, \ldots\). По принципу Дирихле, существуют два числа \(ix\) и \(jx\) (где \(i > j\)), которые имеют одинаковый остаток при делении на простое число, большее чем \(x\). То есть,

\[ix \equiv jx \pmod{p},\]

где \(p\) - простое число и \(p > x\).

Здесь мы можем выразить разность между \(ix\) и \(jx\), и это выражение будет делиться на \(x\):

\[ix - jx = (i-j)x.\]

Так как \(p > x\), то \(p\) не делит \(x\). Значит, \(p\) должно делить \((i-j)\).

Но мы предположили, что все числа, большие чем \(x\), не делятся на простое число, которое больше их самих. Из этого предположения следует, что \((i-j)\) должно равняться 0, что невозможно, так как \(i > j\).

Таким образом, наше предположение о том, что число \(x\) не делится на простое число, большее, чем само число \(x\), является ложным.

Следовательно, число, содержащее цифры 1, 3, 7, 9 и большее 10, обязательно делится на простое число, которое является больше, чем данное число.

Это доказательство основывается на принципе Дирихле и логике математического вывода.