Докажите, что Антон будет двигаться по кругу начиная с некоторого момента, и в случае, если все надписи различны, Антон

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим ситуацию более подробно.

Предположим, что у нас есть круг с радиусом \( R \). На этом круге размещены некоторые надписи, причем каждая надпись уникальна. Кроме того, предположим, что Антон начинает двигаться по этому кругу начиная с некоторого момента.

Рассмотрим движение Антона по кругу. Если Антон движется в одном направлении, то он будет охватывать все надписи на круге, не проходя по одной и той же надписи дважды.

Однако, если Антон начинает двигаться в противоположном направлении, то он повторно проходит по некоторым надписям на круге, так как его движение обратно пересекает его предыдущий путь.

Теперь докажем, что Антон обязательно вернется назад, если все надписи на круге различны.

Предположим, что Антон начинает движение в одном направлении. В этом случае, он будет проходить надписи на круге последовательно и ни одну надпись дважды. Когда он достигнет последней надписи на круге и продолжит движение, он будет возвращаться в направлении, в котором он начал движение. Поскольку он будет следовать по кругу, то его путь будет повторяться. Таким образом, он обязательно вернется назад.

Предположим теперь, что Антон начинает движение в противоположном направлении. В этом случае, он будет проходить надписи на круге в обратном порядке. Однако, поскольку все надписи различны, он не сможет вернуться назад и продолжит двигаться по кругу, проходя все надписи только один раз.

Таким образом, мы доказали, что если все надписи на круге различны, Антон обязательно вернется назад.

Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.