До какой высоты бы поднялась ракета, если бы сопротивление воздуха не учитывалось и из сопла покоящейся на старте ракеты массой 600 кг вылетела порция продуктов сгорания топлива массой 15 кг со скоростью 2 км/с относительно земли и направленной вертикально вниз?
Yarost_5255
Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы сохранения импульса и энергии. Давайте пошагово разберемся в решении.
1. Для начала, давайте найдем начальную скорость ракеты. У нас есть масса ракеты и скорость выброса продуктов сгорания топлива, поэтому мы можем использовать закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Так как ракета покоится в начале, горизонтальная компонента импульса равна нулю.
\[m_{\text{ракеты}} \cdot v_{\text{ракеты}} = m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}}\]
\[600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}} = 15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
2. Теперь, найдем конечную скорость ракеты после выброса топлива. Мы можем использовать закон сохранения энергии в вертикальном направлении. Для простоты, будем считать, что ускорение свободного падения равно \(9.8~\text{м/с}^2\) и сопротивление воздуха не учитывается.
Энергия ракеты в начале:
\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2\]
Энергия ракеты в конце:
\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} m_{\text{ост}} v_{\text{ост}}^2\]
где \(m_{\text{ост}}\) - масса ракеты без выброшенного топлива.
3. Посмотрим на систему до и после выброса топлива. Закон сохранения энергии гласит, что энергия системы сохраняется, следовательно, \(E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\).
\[\frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{1}{2} m_{\text{ост}} v_{\text{ост}}^2\]
4. Теперь, найдем массу оставшейся ракеты после выброса топлива. Мы знаем, что масса ракеты до выброса равна сумме массы ракеты и массы выброшенного топлива: \(m_{\text{ракеты}} = m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}\).
\(m_{\text{ост}} = m_{\text{ракеты}} - m_{\text{топлива}} = 600~\text{кг} - 15~\text{кг} = 585~\text{кг}\).
Подставим это значение обратно в закон сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} \cdot 600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 585~\text{кг} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
5. Теперь, найдем скорость оставшейся ракеты после выброса топлива. Сократим обе стороны на \(\frac{1}{2}\) и возьмем корень квадратный от обеих сторон:
\[600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}}^2 = 585~\text{кг} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
\[v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
\[v_{\text{ракеты}} = \sqrt{\frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}}} \cdot v_{\text{ост}}\]
6. Для каждого момента времени тяга и масса составляют силу, которая определяет скорость в вертикальном направлении. Поскольку тяга направлена вниз, а масса двигается вверх, сила будет положительной и мы можем применить второй закон Ньютона:
\[F = m \cdot a\]
\[m \cdot a = -F_{\text{тяга}}\]
где \(F_{\text{тяга}}\) - тяга ракеты, \(m\) - масса ракеты без выброшенного топлива, \(a\) - ускорение ракеты.
7. Это уравнение можно записать в виде:
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot a = -F_{\text{тяга}}\]
Известно, что сила тяги равна произведению массы выброшенного топлива и разгона \(F_{\text{тяга}} = m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\), где \(a_{\text{разгон}}\) - ускорение выбрасывания топлива.
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot a = -m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\]
8. Два элемента этого уравнения являются переменными. Ускорение выбрасывания топлива задано в условии \(a_{\text{разгон}} = 2~\text{км/с}\).
Мы знаем, что ускорение ракеты \(a\) равно ускорению свободного падения \(g = 9.8~\text{м/с}^2\), поэтому мы можем записать:
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot g = -m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\]
\[585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2 = -15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
9. Теперь, найдем ускорение \(a\). Решим уравнение:
\[585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2 = -15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
\[a = \frac{-15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}}{585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2}\]
10. Вычислим \(a\) при помощи калькулятора:
\[a \approx -0.00655~\text{м/с}^2\]
Заметим, что ускорение ракеты отрицательное, так как направлено вверх.
11. Наконец, чтобы узнать, до какой высоты поднялась ракета, мы можем использовать уравнение равноускоренного движения:
\[v_{\text{ост}}^2 = v_0^2 + 2a \cdot h\]
где \(v_0\) - начальная скорость ракеты (которую мы найдем на втором шаге), \(v_{\text{ост}}\) - скорость оставшейся ракеты (которую мы найдем на пятом шаге), \(a\) - ускорение ракеты (которое мы найдем на десятом шаге), и \(h\) - высота подъема ракеты.
12. Подставим известные значения:
\[(v_{\text{ост}})^2 = (v_0)^2 + 2a \cdot h\]
\[(v_{\text{ост}})^2 = \left(\sqrt{\frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}}} \cdot v_{\text{ост}}\right)^2 + 2 \cdot (-0.00655~\text{м/с}^2) \cdot h\]
13. Повторно упрощаем уравнение:
\[v_{\text{ост}}^2 = \frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot (v_{\text{ост}})^2 - 0.0131~\text{м/с}^2 \cdot h\]
\[\frac{600~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot (v_{\text{ост}})^2 - v_{\text{ост}}^2 = 0.0131~\text{м/с}^2 \cdot h\]
14. Сократим обе стороны уравнения:
\[0.0131 \approx h\]
15. Рассчитываем значение \(h\):
\[h \approx 0.0131~\text{м/с}^2\]
Таким образом, ракета поднялась примерно на \(0.0131\) метров.
1. Для начала, давайте найдем начальную скорость ракеты. У нас есть масса ракеты и скорость выброса продуктов сгорания топлива, поэтому мы можем использовать закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Так как ракета покоится в начале, горизонтальная компонента импульса равна нулю.
\[m_{\text{ракеты}} \cdot v_{\text{ракеты}} = m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}}\]
\[600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}} = 15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
2. Теперь, найдем конечную скорость ракеты после выброса топлива. Мы можем использовать закон сохранения энергии в вертикальном направлении. Для простоты, будем считать, что ускорение свободного падения равно \(9.8~\text{м/с}^2\) и сопротивление воздуха не учитывается.
Энергия ракеты в начале:
\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2\]
Энергия ракеты в конце:
\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} m_{\text{ост}} v_{\text{ост}}^2\]
где \(m_{\text{ост}}\) - масса ракеты без выброшенного топлива.
3. Посмотрим на систему до и после выброса топлива. Закон сохранения энергии гласит, что энергия системы сохраняется, следовательно, \(E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\).
\[\frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{1}{2} m_{\text{ост}} v_{\text{ост}}^2\]
4. Теперь, найдем массу оставшейся ракеты после выброса топлива. Мы знаем, что масса ракеты до выброса равна сумме массы ракеты и массы выброшенного топлива: \(m_{\text{ракеты}} = m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}\).
\(m_{\text{ост}} = m_{\text{ракеты}} - m_{\text{топлива}} = 600~\text{кг} - 15~\text{кг} = 585~\text{кг}\).
Подставим это значение обратно в закон сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} \cdot 600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 585~\text{кг} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
5. Теперь, найдем скорость оставшейся ракеты после выброса топлива. Сократим обе стороны на \(\frac{1}{2}\) и возьмем корень квадратный от обеих сторон:
\[600~\text{кг} \cdot v_{\text{ракеты}}^2 = 585~\text{кг} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
\[v_{\text{ракеты}}^2 = \frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot v_{\text{ост}}^2\]
\[v_{\text{ракеты}} = \sqrt{\frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}}} \cdot v_{\text{ост}}\]
6. Для каждого момента времени тяга и масса составляют силу, которая определяет скорость в вертикальном направлении. Поскольку тяга направлена вниз, а масса двигается вверх, сила будет положительной и мы можем применить второй закон Ньютона:
\[F = m \cdot a\]
\[m \cdot a = -F_{\text{тяга}}\]
где \(F_{\text{тяга}}\) - тяга ракеты, \(m\) - масса ракеты без выброшенного топлива, \(a\) - ускорение ракеты.
7. Это уравнение можно записать в виде:
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot a = -F_{\text{тяга}}\]
Известно, что сила тяги равна произведению массы выброшенного топлива и разгона \(F_{\text{тяга}} = m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\), где \(a_{\text{разгон}}\) - ускорение выбрасывания топлива.
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot a = -m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\]
8. Два элемента этого уравнения являются переменными. Ускорение выбрасывания топлива задано в условии \(a_{\text{разгон}} = 2~\text{км/с}\).
Мы знаем, что ускорение ракеты \(a\) равно ускорению свободного падения \(g = 9.8~\text{м/с}^2\), поэтому мы можем записать:
\[(m_{\text{ост}} + m_{\text{топлива}}) \cdot g = -m_{\text{топлива}} \cdot a_{\text{разгон}}\]
\[585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2 = -15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
9. Теперь, найдем ускорение \(a\). Решим уравнение:
\[585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2 = -15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}\]
\[a = \frac{-15~\text{кг} \cdot 2~\text{км/с}}{585~\text{кг} \cdot 9.8~\text{м/с}^2}\]
10. Вычислим \(a\) при помощи калькулятора:
\[a \approx -0.00655~\text{м/с}^2\]
Заметим, что ускорение ракеты отрицательное, так как направлено вверх.
11. Наконец, чтобы узнать, до какой высоты поднялась ракета, мы можем использовать уравнение равноускоренного движения:
\[v_{\text{ост}}^2 = v_0^2 + 2a \cdot h\]
где \(v_0\) - начальная скорость ракеты (которую мы найдем на втором шаге), \(v_{\text{ост}}\) - скорость оставшейся ракеты (которую мы найдем на пятом шаге), \(a\) - ускорение ракеты (которое мы найдем на десятом шаге), и \(h\) - высота подъема ракеты.
12. Подставим известные значения:
\[(v_{\text{ост}})^2 = (v_0)^2 + 2a \cdot h\]
\[(v_{\text{ост}})^2 = \left(\sqrt{\frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}}} \cdot v_{\text{ост}}\right)^2 + 2 \cdot (-0.00655~\text{м/с}^2) \cdot h\]
13. Повторно упрощаем уравнение:
\[v_{\text{ост}}^2 = \frac{585~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot (v_{\text{ост}})^2 - 0.0131~\text{м/с}^2 \cdot h\]
\[\frac{600~\text{кг}}{600~\text{кг}} \cdot (v_{\text{ост}})^2 - v_{\text{ост}}^2 = 0.0131~\text{м/с}^2 \cdot h\]
14. Сократим обе стороны уравнения:
\[0.0131 \approx h\]
15. Рассчитываем значение \(h\):
\[h \approx 0.0131~\text{м/с}^2\]
Таким образом, ракета поднялась примерно на \(0.0131\) метров.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
