Для каких значений u, трехчлен - u^2-1/2u-1/16, принимает значения, не являющиеся положительными?

Чтобы найти значения \(u\), при которых трехчлен \(-u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16}\) не является положительным, мы должны найти те значения \(u\), при которых этот трехчлен меньше или равен нулю.

Для этого мы можем решить неравенство \(-u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16} \leq 0\).

Давайте начнем с умножения обоих частей неравенства на 16, чтобы избавиться от дробей:

\[-16u^2 - 8u - 1 \leq 0\]

Теперь перенесем все элементы в левую часть неравенства:

\[-16u^2 - 8u - 1 + 0 \leq 0\]

Сокращаем:

\[-16u^2 - 8u - 1 \leq 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать два метода:

1. Графический метод: Построим график функции \(-16u^2 - 8u - 1\) и найдем значения \(u\), при которых функция меньше или равна нулю.

2. Метод интервалов: Найдем корни уравнения \(-16u^2 - 8u - 1 = 0\) и использовать их, чтобы разбить числовую прямую на интервалы. Затем проверим значения \(u\) в каждом интервале, чтобы найти значения, для которых неравенство выполняется.

Давайте воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения \(-16u^2 - 8u - 1 = 0\). Для этого воспользуемся формулой квадратного корня:

\(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\),

где \(a = -16\), \(b = -8\), и \(c = -1\).

Подставляем значения:

\(u = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(-16)(-1)}}{2(-16)}\),

\(u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 64}}{-32}\),

\(u = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{-32}\),

\(u = \frac{8 \pm \sqrt{64 \cdot 2}}{-32}\),

\(u = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{-32}\).

Теперь найдем два значения \(u\):

1. Подставим \(u = \frac{8 + 8\sqrt{2}}{-32}\) обратно в исходное неравенство \(-16u^2 - 8u - 1 \leq 0\). Получим:

\(-16 \left(\frac{8 + 8\sqrt{2}}{-32}\right)^2 - 8 \left(\frac{8 + 8\sqrt{2}}{-32}\right) - 1 \leq 0\).

Упрощаем:

\(\frac{-16(8 + 8\sqrt{2})^2}{(-32)^2} - \frac{8(8 + 8\sqrt{2})}{-32} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-16(64 + 128\sqrt{2} + 128) + 8(8 + 8\sqrt{2})}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-1024 - 2048\sqrt{2} - 2048 + 64 + 64\sqrt{2}}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-2816 - 1984\sqrt{2}}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-2816 - 1984\sqrt{2} - 1024}{1024} \leq 0\),

\(\frac{-5824 - 1984\sqrt{2}}{1024} \leq 0\).

Таким образом, при \(u = \frac{8 + 8\sqrt{2}}{-32}\) трехчлен не принимает значения, не являющиеся положительными.

2. Подставим \(u = \frac{8 - 8\sqrt{2}}{-32}\) обратно в исходное неравенство \(-16u^2 - 8u - 1 \leq 0\). Получим:

\(-16 \left(\frac{8 - 8\sqrt{2}}{-32}\right)^2 - 8 \left(\frac{8 - 8\sqrt{2}}{-32}\right) - 1 \leq 0\).

Упрощаем:

\(\frac{-16(8 - 8\sqrt{2})^2}{(-32)^2} - \frac{8(8 - 8\sqrt{2})}{-32} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-16(64 - 128\sqrt{2} + 128) + 8(8 - 8\sqrt{2})}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{-1024 + 2048\sqrt{2} - 2048 + 64 - 64\sqrt{2}}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{2048\sqrt{2} - 4036}{1024} - 1 \leq 0\),

\(\frac{2048\sqrt{2} - 4036 - 1024}{1024} \leq 0\),

\(\frac{2048\sqrt{2} - 5056}{1024} \leq 0\).

Таким образом, при \(u = \frac{8 - 8\sqrt{2}}{-32}\) трехчлен не принимает значения, не являющиеся положительными.

Итак, мы нашли два значения \(u\), при которых трехчлен \(-u^2 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{16}\) не является положительным: \(u = \frac{8 + 8\sqrt{2}}{-32}\) и \(u = \frac{8 - 8\sqrt{2}}{-32}\).