Для каких значений переменной х выполняется следующее тождество равенства: 1) (4m+x)^2=16m^2+24mn+9n^2

Решим каждую из данных задач по очереди, чтобы определить значения переменной \(x\), при которых выполняется каждое тождество равенства.

1) Дано тождество: \((4m+x)^2=16m^2+24mn+9n^2\).

Проведем раскрытие скобок в левой части уравнения:
\((4m+x)^2 = (4m+x)(4m+x) = 16m^2 + 8mx + 8mx + x^2 = 16m^2 + 16mx + x^2\).

Теперь сравним раскрытую скобку с правой частью уравнения:
\(16m^2 + 16mx + x^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2\).

Обратим внимание на члены с переменными \(m\) и \(n\):
\(16mx = 24mn\) и \(x^2 = 9n^2\).

Воспользуемся этой информацией для нахождения возможных значений переменной \(x\).

Из \(16mx = 24mn\) получаем:
\(16x = 24n\), делим обе части уравнения на 8:
\(2x = 3n\), отсюда выражаем \(x\):
\(x = \frac{{3n}}{2}\).

Теперь рассмотрим \(x^2 = 9n^2\):
\(\left(\frac{{3n}}{2}\right)^2 = 9n^2\).

Возводим в квадрат:
\(\frac{{9n^2}}{4} = 9n^2\).

Переносим все члены уравнения влево:
\(\frac{{9n^2}}{4} - 9n^2 = 0\).

Умножаем все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
\(9n^2 - 36n^2 = 0\).

Редуцируем члены уравнения:
\(-27n^2 = 0\).

Решений данного уравнения нет. Значит, тождество из первой задачи не имеет решений для переменной \(x\).

2) Дано тождество: \((2a+x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2\).

Раскроем скобки в левой части уравнения:
\((2a+x)^2 = (2a+x)(2a+x) = 4a^2 + 2ax + 2ax + x^2 = 4a^2 + 4ax + x^2\).

Сравним эти выражения с правой частью уравнения:
\(4a^2 + 4ax + x^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2\).

Обратим внимание на члены с переменными \(a\) и \(b\):
\(4ax = -28ab\) и \(x^2 = 49b^2\).

Используем эти выражения для нахождения возможных значений \(x\).

Из \(4ax = -28ab\) получаем:
\(ax = -7ab\), делим обе части уравнения на \(a\):
\(x = -7b\).

Рассмотрим \(x^2 = 49b^2\):
\((-7b)^2 = 49b^2\).

Возводим в квадрат:
\(49b^2 = 49b^2\).

Уравнение истинно для любого значения переменной \(b\). Значит, тождество из второй задачи выполняется при значении \(x = -7b\).

3) Дано тождество: \((x+9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2\).

Раскроем скобки в левой части уравнения:
\((x+9n)^2 = (x+9n)(x+9n) = x^2 + 9nx + 9nx + (9n)^2 = x^2 + 18nx + 81n^2\).

Сравним полученное выражение с правой частью уравнения:
\(x^2 + 18nx + 81n^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2\).

Обратим внимание на члены с переменными \(m\) и \(n\):
\(18nx = 108mn\) и \(x^2 = 36m^2\).

Используем эти выражения для нахождения возможных значений \(x\).

Из \(18nx = 108mn\) получаем:
\(nx = 6mn\), делим обе части уравнения на \(n\):
\(x = 6m\).

Теперь рассмотрим \(x^2 = 36m^2\):
\((6m)^2 = 36m^2\).

Возводим в квадрат:
\(36m^2 = 36m^2\).

Уравнение истинно для любого значения переменной \(m\). Значит, тождество из третьей задачи выполняется при значении \(x = 6m\).

4) Дано тождество: \((x-6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2\).

Раскроем скобки в левой части уравнения:
\((x-6b)^2 = (x-6b)(x-6b) = x^2 - 6bx - 6bx + (6b)^2 = x^2 - 12bx + 36b^2\).

Сравним полученное выражение с правой частью уравнения:
\(x^2 - 12bx + 36b^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2\).

Обратим внимание на члены с переменными \(a\) и \(b\):
\(-12bx = -96ab\) и \(x^2 = 64a^2\).

Используем эти выражения для нахождения возможных значений \(x\).

Из \(-12bx = -96ab\) получаем:
\(bx = 8ab\), делим обе части уравнения на \(b\):
\(x = 8a\).

Теперь рассмотрим \(x^2 = 64a^2\):
\((8a)^2 = 64a^2\).

Возводим в квадрат:
\(64a^2 = 64a^2\).

Уравнение истинно для любого значения переменной \(a\). Значит, тождество из четвертой задачи выполняется при значении \(x = 8a\).

Итак, мы рассмотрели все задачи и определили значения переменной \(x\), при которых выполняются данные тождества равенства:
1) Нет решений для \(x\).
2) \(x = -7b\).
3) \(x = 6m\).
4) \(x = 8a\).