Для каких значений k уравнение (1 + (2 - 2k) sin t) / (cos t - sin t) = 2k имеет по крайней мере одно решение

Давайте разберемся с этой задачей. У нас есть уравнение:

\[\frac{{1 + (2 - 2k) \sin t}}{{\cos t - \sin t}} = 2k.\]

Чтобы решить это уравнение, давайте сделаем несколько шагов.

1. Начнем с упрощения выражения внутри дроби. У нас есть \((2 - 2k) \sin t\), и мы можем упростить его, получив \(2\sin t - 2k\sin t\). Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

\[\frac{{1 + 2\sin t - 2k\sin t}}{{\cos t - \sin t}} = 2k.\]

2. Далее, давайте избавимся от дроби в левой части уравнения, умножив числитель и знаменатель на \(\cos t - \sin t\). После умножения мы получаем:

\[1 + 2\sin t - 2k\sin t = 2k(\cos t - \sin t).\]

3. Теперь давайте раскроем скобки, чтобы упростить уравнение еще больше:

\[1 + 2\sin t - 2k\sin t = 2k\cos t - 2k\sin t.\]

4. Сгруппируем все слагаемые синуса \(2\sin t - 2k\sin t\) и все слагаемые косинуса \(2k\cos t\):

\[1 + 2\sin t - 2k\sin t - 2k\cos t + 2k\sin t = 0.\]

5. Теперь давайте упростим уравнение, сокращая подобные слагаемые:

\[1 - 2k\cos t = 0.\]

6. Перенесем слагаемое \(1\) на другую сторону уравнения:

\[2k\cos t = 1.\]

7. Наконец, разделим обе стороны уравнения на \(2\cos t\), чтобы найти значение \(k\):

\[k = \frac{1}{{2\cos t}}.\]

Теперь у нас есть выражение для \(k\) в терминах \(\cos t\). Чтобы найти значения \(k\), при которых уравнение имеет хотя бы одно решение на интервале \((0, \frac{\pi}{2})\), нам нужно рассмотреть различные значения \(\cos t\) на этом интервале.

На интервале \((0, \frac{\pi}{2})\) функция \(\cos t\) положительна, поэтому чтобы уравнение имело решение, мы ищем значения \(k\), при которых \(\frac{1}{{2\cos t}}\) будет положительным.

Таким образом, ответ на задачу: уравнение \((1 + (2 - 2k) \sin t) / (\cos t - \sin t) = 2k\) имеет по крайней мере одно решение на интервале \((0, \frac{\pi}{2})\), когда \(k\) является положительным и \(\cos t\) находится в интервале \((0, \frac{\pi}{2})\).

Надеюсь, это помогло вам понять решение этой задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!