Для каких значений а уравнение x^2 - 4x + a ): (5x^2 - 6ax + a^2 ) = 0 будет иметь ровно два различных решения?

Чтобы найти значения a, при которых указанное уравнение имеет ровно два различных решения, нам понадобится использовать дискриминант уравнения квадратного трехчлена.

Уравнение x^2 - 4x + a = (5x^2 - 6ax + a^2) можно записать в виде: 5x^2 - (4 + 6a)x + a^2 - a = 0.

Для того чтобы уравнение имело два различных решения, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант квадратного трехчлена d вычисляется по формуле: d = b^2 - 4ac, где a, b, и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае, a = 5, b = -(4 + 6a) = -4 - 6a, c = a^2 - a.

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта и приравняем его к 0, чтобы найти значения a, при которых дискриминант равен нулю:

\[d = (-4 - 6a)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (a^2 - a)\]

\[-4 - 6a)^2 - 20(a^2 - a) = 0\]

\[(16 + 48a + 36a^2) - (20a^2 - 20a) = 0\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[16 + 48a + 36a^2 - 20a^2 + 20a = 0\]

\[16 + 68a + 16a^2 = 0\]

\[4 + 17a + 4a^2 = 0\]

Полученное квадратное уравнение можно решить, найдя его корни. Мы можем использовать или факторизацию или квадратное уравнение для решения.

Проанализируем возможные значения a для которых уравнение имеет два различных решения.

Если уравнение имеет два различных решения, то дискриминант d > 0.

Подставим дискриминант в неравенство и решим его неравенство:

\[d = 17^2 - 4 \times 4 \times 1 < 0\]

Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней для любых значений a.

Ответ: Для заданного уравнения x^2 - 4x + a : (5x^2 - 6ax + a^2) = 0 нет значений a, при которых уравнение имеет ровно два различных решения.