Для каких значений а уравнение x^2 - 4x + a ): (5x^2 - 6ax + a^2 ) = 0 будет иметь ровно два различных решения?

Чтобы найти значения a, при которых указанное уравнение имеет ровно два различных решения, нам понадобится использовать дискриминант уравнения квадратного трехчлена.

Уравнение x^2 - 4x + a = (5x^2 - 6ax + a^2) можно записать в виде: 5x^2 - (4 + 6a)x + a^2 - a = 0.

Для того чтобы уравнение имело два различных решения, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант квадратного трехчлена d вычисляется по формуле: d = b^2 - 4ac, где a, b, и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае, a = 5, b = -(4 + 6a) = -4 - 6a, c = a^2 - a.

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта и приравняем его к 0, чтобы найти значения a, при которых дискриминант равен нулю:

$$d=(-4-6a{)}^2-4\cdot 5\cdot (a^2-a)$$

$$-4-6a{)}^2-20(a^2-a)=0$$

$$(16+48a+36a^2)-(20a^2-20a)=0$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$16+48a+36a^2-20a^2+20a=0$$

$$16+68a+16a^2=0$$

$$4+17a+4a^2=0$$

Полученное квадратное уравнение можно решить, найдя его корни. Мы можем использовать или факторизацию или квадратное уравнение для решения.

Проанализируем возможные значения a для которых уравнение имеет два различных решения.

Если уравнение имеет два различных решения, то дискриминант d > 0.

Подставим дискриминант в неравенство и решим его неравенство:

$$d={17}^2-4\times 4\times 1<0$$

Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней для любых значений a.

Ответ: Для заданного уравнения x^2 - 4x + a : (5x^2 - 6ax + a^2) = 0 нет значений a, при которых уравнение имеет ровно два различных решения.