Каково значение выражения 9-2√3ctgx при sinx = √3/2?

Для решения этой задачи, давайте начнем с выражения \(ctg(x)\). Тангенс и котангенс связаны следующим образом: \(ctg(x) = \frac{1}{tan(x)}\).

Pодставив значение \(\sin(x)\), которое равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), получим:

\[ctg(x) = \frac{1}{tan(x)} = \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos(x)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\cos(x)}{\sqrt{3}}\]

Далее в задании у нас есть \(9-2\sqrt{3}ctg(x)\), давайте подставим выражение для \(ctg(x)\) и решим:

\[9 - 2\sqrt{3}ctg(x) = 9 - 2\sqrt{3}\left(\frac{2\cos(x)}{\sqrt{3}}\right) = 9 - 4\cos(x)\]

Теперь у нас осталось найти значение \(\cos(x)\), основываясь на известном значении \(\sin(x)\), равном \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Для этого, воспользуемся тригонометрической формулой Пифагора: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Подставим известное значение \(\sin(x)\):

\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1\)

\(\frac{3}{4} + \cos^2(x) = 1\)

Отсюда, получаем:

\(\cos^2(x) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

Теперь найдем значение \(\cos(x)\), взяв корень из обоих сторон:

\(\cos(x) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)

Итак, значение \(\cos(x)\) при \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) равно \(\frac{1}{2}\).

Теперь мы можем вернуться к выражению \(9 - 4\cos(x)\) и подставить значение \(\cos(x)\):

\(9 - 4\cos(x) = 9 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 9 - 2 = 7\)

Таким образом, значение выражения \(9 - 2\sqrt{3}ctg(x)\), когда \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), равно 7.