Для данных точек a(-3;-4) и A (1;1), найдите длину вектора AB, если точка B находится на оси OY и известно скалярное

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства векторов и скалярного произведения.

Для начала, мы можем найти вектор AB, используя координаты точек A и B. Для этого мы вычитаем из координат точки B координаты точки A:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}
\]

Так как точка B находится на оси OY, то её координаты будут (0, y). Теперь у нас есть вектор AB с координатами (0, y - 1).

Далее, нам известно, что скалярное произведение векторов можно вычислить следующим образом:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos \theta
\]

Где \(\overrightarrow{AC}\) - это произвольный вектор, а \(\theta\) - угол между векторами AB и AC.

В данной задаче, чтобы найти длину вектора AB, нам известно, что скалярное произведение равно нулю, так как векторы AB и AC перпендикулярны друг другу, так как точка B находится на оси OY.

Подставляя в эту формулу известные значения, получим:

\[
(0, y - 1) \cdot (-3, -4) = |(0, y - 1)| \cdot |(-3, -4)| \cdot \cos \theta
\]

Скалярное произведение векторов будет равно:

\[
0 \cdot -3 + (y - 1) \cdot -4 = |(0, y - 1)| \cdot |-3, -4| \cdot \cos \theta
\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[
-4y + 4 = 5 \cdot \sqrt{y^2 + 1} \cdot \cos \theta
\]

Так как мы ищем длину вектора AB, которая является положительной величиной, то модуль скалярного произведения равен его абсолютному значению:

\[
|-4y + 4| = 5 \cdot \sqrt{y^2 + 1} \cdot |\cos \theta|
\]

Замечаем, что угол \(\theta\) между векторами AB и AC равен 90 градусам, потому что векторы AB и AC являются перпендикулярными. Тогда \(\cos \theta = 0\), и наше уравнение упрощается к следующему виду:

\[
|-4y + 4| = 0
\]

Так как модуль никогда не может принимать отрицательное значение, \(-4y + 4\) должно быть равно нулю:

\[
-4y + 4 = 0
\]

Решая это уравнение, найдем значение y:

\[
-4y = -4
\]

\[
y = 1
\]

Таким образом, длина вектора AB будет равна 1. Итак, мы нашли ответ на задачу.