Для четырех чисел x, y, u, v справедливо равенство x²⁰+y²⁰=u²⁰+v²⁰ и x¹⁰+y¹⁰=u¹⁰+v¹⁰. Доказать, что выполняется

Дана система уравнений:
\[x^{20} + y^{20} = u^{20} + v^{20}\]
\[x^{10} + y^{10} = u^{10} + v^{10}\]

Мы должны доказать, что выполняется следующее равенство:
\[x^{2010} + y^{2010} = u^{2010} + v^{2010}\]

Для решения этой задачи воспользуемся методом индукции. Первым шагом, мы заметим, что при \(n = 1\) равенство выполняется, так как
\[x^1 + y^1 = u^1 + v^1\]

Теперь предположим, что равенство выполняется для некоторого \(n = k\), то есть:
\[x^{10k} + y^{10k} = u^{10k} + v^{10k}\]

Также предположим, что равенство выполняется для \(n = k + 1\), то есть:
\[x^{10(k+1)} + y^{10(k+1)} = u^{10(k+1)} + v^{10(k+1)}\]

Теперь давайте выразим \(x^{10(k+1)}\) через предположение для \(n = k\):
\[x^{10(k+1)} = x^{10k + 10} = x^{10k} \cdot x^{10}\]

Аналогично для остальных переменных:
\[y^{10(k+1)} = y^{10k} \cdot y^{10}\]
\[u^{10(k+1)} = u^{10k} \cdot u^{10}\]
\[v^{10(k+1)} = v^{10k} \cdot v^{10}\]

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\[x^{10k} \cdot x^{10} + y^{10k} \cdot y^{10} = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Так как выполнено предположение для \(n = k\), то мы можем заменить часть формулы:
\(x^{10k} + y^{10k} = u^{10k} + v^{10k}\)

Получим:
\[(u^{10k} + v^{10k}) \cdot (x^{10} + y^{10}) = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Мы знаем, что \(x^{10} + y^{10} = u^{10} + v^{10}\), поэтому упростим уравнение:
\[(u^{10k} + v^{10k}) \cdot (u^{10} + v^{10}) = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Раскроем скобки:
\(u^{10k} \cdot u^{10} + u^{10k} \cdot v^{10} + v^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10} = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\)

Упростим уравнение:
\(u^{10k} \cdot v^{10} + v^{10k} \cdot u^{10} = 0\)

Теперь мы знаем, что \(u^{10k} + v^{10k} = x^{10k} + y^{10k}\), поэтому можно продолжить упрощать уравнение:
\[(x^{10k} + y^{10k}) \cdot (u^{10} + v^{10}) = 0\]

Мы знаем, что \(u^{10} + v^{10} \neq 0\) (так как по условию, оно равно \(x^{10} + y^{10}\)), поэтому:
\[x^{10k} + y^{10k} = 0\]

Теперь мы можем подставить это обратно в наше равенство для \(n = k + 1\):
\[(x^{10k} + y^{10k}) \cdot (x^{10} + y^{10}) = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Получаем:
\[0 \cdot (x^{10} + y^{10}) = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Так как умножение на 0 даёт 0, получаем:
\[0 = u^{10k} \cdot u^{10} + v^{10k} \cdot v^{10}\]

Из этого следует равенство для \(n = k + 1\):
\[x^{10} + y^{10} = u^{10} + v^{10}\]

Мы доказали, что если равенство выполняется для \(n = k\), то оно выполняется и для \(n = k + 1\), используя метод индукции.

Таким образом, равенство \(x^{2010} + y^{2010} = u^{2010} + v^{2010}\) доказано.