Диагонали прямоугольной трапеции abcd взаимно перпендикулярны. Длина короткой боковой стороны ab составляет 6

= см.
3. Площадь трапеции abcd: S = см².

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство трапеции и знание о перпендикулярных диагоналях.

1. Длина короткого основания bc:
Поскольку трапеция является прямоугольной, значит, угол между диагоналями равен 90 градусам. Рассмотрим треугольник bco. Мы знаем, что угол в вершине o равен 90 градусов, поскольку диагонали взаимно перпендикулярны. Также у нас есть одна сторона треугольника — отрезок bo длиной см. Используем теорему Пифагора для нахождения длины второй стороны треугольника. По теореме Пифагора:

\[bo^2 = bc^2 + co^2\]

Подставим известные значения:

\[6^2 = bc^2 + co^2\]

\[36 = bc^2 + co^2\]

Мы также знаем, что длина длинного основания ad составляет 8 см. То есть, ac + cd = ad, где ac это короткая диагональ, а cd это расстояние между коротким и длинным основаниями. Зная значения ac и ad, мы можем найти cd:

\[6 + cd = 8\]
\[cd = 2\]

Мы получили ещё одно равенство между сторонами трапеции, которое мы будем использовать при решении следующего пункта.

2. Длины отрезков, на которые диагонали делятся в точке пересечения o:
Итак, у нас есть два треугольника: треугольник bco и треугольник ado. В треугольнике bco у нас уже есть сторона bo длиной см. Используя равенство \(cd = 2\), можем найти длину отрезка co:

\[co = cd - do = 2 - do\]

Также по теореме Пифагора:

\[co^2 = bc^2 + bo^2\]
\[(2 - do)^2 = bc^2 + 6^2\]
\[4 - 4do + do^2 = bc^2 + 36\]

В треугольнике ado мы знаем сторону ad длиной 8 см. Используя равенство \(ac + cd = ad\), можем найти длину отрезка ao:

\[ao = ac + co = 6 + (2 - do) = 8 - do\]

Также применим теорему Пифагора в треугольнике ado:

\[ao^2 = ad^2 + do^2\]
\[(8 - do)^2 = 8^2 + do^2\]
\[64 - 16do + do^2 = 64 + do^2\]
\[-16do = 0\]
\[do = 0\]

Подставим полученное значение do в выражения для co и ao:

\[co = 2 - do = 2 - 0 = 2\]
\[ao = 8 - do = 8 - 0 = 8\]

Итак, длины отрезков, на которые диагонали делятся в точке пересечения o, равны: \(co = 2\) см и \(ao = 8\) см.

3. Площадь трапеции abcd:
Для вычисления площади трапеции можно использовать формулу:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где a и b - длины оснований, а h - высота трапеции (расстояние между основаниями). В нашем случае, длина короткого основания ab равна 6 см, длина длинного основания ad равна 8 см, а расстояние между основаниями cd равно 2 см.

\[S = \frac{(6 + 8) \cdot 2}{2} = \frac{14 \cdot 2}{2} = 14\]

Площадь трапеции abcd равна 14 см².

Таким образом, мы рассчитали все необходимые значения:
1. Длина короткого основания bc: \(bc = 6\) см.
2. Длины отрезков, на которые диагонали делятся в точке пересечения o: \(co = 2\) см и \(ao = 8\) см.
3. Площадь трапеции abcd: \(S = 14\) см².