Derivative of (1/8cosx−3tanx) = answer: −1/8sinx−3cotx

Рассмотрим данное задание более подробно.

Дана функция \(f(x) = \frac{1}{8} \cos x - 3 \tan x\), и требуется найти производную этой функции.

Для нахождения производной сначала найдем производные каждого слагаемого по отдельности, используя известные правила дифференцирования.

1. Дифференцирование \( \frac{1}{8} \cos x \):

Производная функции \(\cos x\) равна \(-\sin x\). При дифференцировании константы у нас остается просто эта константа.

Следовательно, производная слагаемого \(\frac{1}{8} \cos x\) равна \(\frac{1}{8} \cdot (-\sin x) = -\frac{1}{8} \sin x\).

2. Дифференцирование \(3 \tan x\):

Производная функции \(\tan x\) равна \(\sec^2 x\), а умножение на константу оставляет константу в производной.

Таким образом, производная слагаемого \(3 \tan x\) равна \(3 \cdot \sec^2 x\).

Теперь соберем все вместе. Производная функции \(f(x)\) будет равна сумме производных слагаемых:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3 \cdot \sec^2 x\]

Используя тригонометрическую идентичность \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\), можем записать производную в виде:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3(1 + \tan^2 x)\]

Подставляем данное выражение для производной вместе с исходной функцией \(f(x)\):

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3(1 + \tan^2 x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3 + 3\tan^2 x\]

Теперь вспомним, что \(\tan^2 x = \sec^2 x - 1\). Подставляем это обратно:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3 + 3(\sec^2 x - 1) = -\frac{1}{8} \sin x + 3 + 3\sec^2 x - 3\]

Сокращаем 3 и -3:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + 3\sec^2 x\]

Теперь, используя тригонометрическую идентичность \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), можем переписать:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + \frac{3}{\cos^2 x}\]

И наконец, приведем к общему знаменателю и упростим:

\[f"(x) = -\frac{1}{8} \sin x + \frac{3}{\cos^2 x} = -\frac{\cos^2 x + 24\sin x}{8\cos^2 x}\]

Таким образом, производная исходной функции равна \(-\frac{1}{8} \sin x - 3\cot x\), что и требовалось доказать.