Де знаходиться точка на кривій f(x)=3x^2-4x+6, в якій дотична перпендикулярна прямій 8y+x-2=0?

Давайте найдём точку на кривой \(f(x) = 3x^2 - 4x + 6\), в которой касательная будет перпендикулярна прямой \(8y + x - 2 = 0\).

Для начала нам нужно найти производную функции \(f(x)\). Производная показывает нам наклон кривой в каждой точке. Если касательная к кривой перпендикулярна прямой, то их наклоны должны быть обратными и умноженными на -1.

Вычислим первую производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 6) = 6x - 4.\]

Теперь найдём точку, в которой касательная будет перпендикулярна прямой. Если прямая перпендикулярна касательной, то их произведение должно равняться -1:

\[k \cdot f"(x) = -1.\]

Где \(k\) - это наклон прямой \(8y + x - 2 = 0\). Прямая \(8y + x - 2 = 0\) записана в общем виде, а для нашего случая нам нужно найти только наклон, поэтому перепишем её в виде \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон прямой:

\[8y + x - 2 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{4}.\]

Теперь сравним произведения наклонов:

\[-\frac{1}{8} \cdot (6x - 4) = -1.\]

Решим это уравнение и найдём значение \(x\):

\[\frac{6x - 4}{8} = 1 \Rightarrow 6x - 4 = 8 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2.\]

Теперь, чтобы найти значение \(y\), подставим найденное значение \(x\) в уравнение прямой:

\[y = -\frac{1}{8} \cdot 2 + \frac{1}{4} \Rightarrow y = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \Rightarrow y = 0.\]

Итак, точка на кривой \(f(x) = 3x^2 - 4x + 6\), в которой касательная будет перпендикулярна прямой \(8y + x - 2 = 0\), имеет координаты (2, 0).