Дано: Точки А(-4;-4), В (1;6), С (7;-2). 1) Определить длины сторон треугольника АВС; 2) Подтвердите, что треугольник

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1) Определение длин сторон треугольника АВС:
Для нахождения длин сторон треугольника АВС, нам необходимо использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Применим эту формулу для каждой стороны треугольника:
Сторона АВ: \(d_{AB} = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (6 - (-4))^2}\)
Сторона ВС: \(d_{BC} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-2 - 6)^2}\)
Сторона СА: \(d_{CA} = \sqrt{((-4) - 7)^2 + ((-4) - (-2))^2}\)

Вычисляя эти значения, получим:
Сторона АВ: \(d_{AB} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125}\)
Сторона ВС: \(d_{BC} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
Сторона СА: \(d_{CA} = \sqrt{(-11)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}\)

Итак, длины сторон треугольника АВС будут следующими:
Сторона АВ: \(\sqrt{125}\)
Сторона ВС: 10
Сторона СА: \(\sqrt{125}\)

2) Проверка на равнобедренность треугольника:
Чтобы доказать, что треугольник АВС является равнобедренным, нам необходимо убедиться, что две стороны треугольника имеют одинаковую длину. Из предыдущего шага мы установили, что длины сторон АВ и СА составляют \(\sqrt{125}\). Таким образом, у нас есть две стороны значение \(\sqrt{125}\), что говорит нам о том, что треугольник АВС является равнобедренным.

3) Вычисление площади треугольника:
Для вычисления площади треугольника АВС, мы можем использовать формулу Герона. Формула Герона выражается следующим образом:
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a, b, c\) - длины сторон треугольника.

Давайте найдем полупериметр треугольника АВС:
\[p = \frac{d_{AB} + d_{BC} + d_{CA}}{2} = \frac{\sqrt{125} + 10 + \sqrt{125}}{2} = \frac{2\sqrt{125} + 10}{2} = \frac{\sqrt{500} + 10}{2} = \frac{10\sqrt{5} + 10}{2} = 5\sqrt{5} + 5\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника АВС:
\[S = \sqrt{(5\sqrt{5} + 5)(5\sqrt{5} + 5 - \sqrt{125})(5\sqrt{5} + 5 - \sqrt{125})(5\sqrt{5} + 5 - \sqrt{125})}\]

Далее, проводя вычисления, получим:
\[S = \sqrt{(5\sqrt{5} + 5)(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})}\]
\[S = \sqrt{(5\sqrt{5} + 5)(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})}\]
\[S = \sqrt{(5\sqrt{5} + 5)(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})}\]
\[S = \sqrt{(5\sqrt{5} + 5)(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})(5\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{5})}\]
\[S = \sqrt{(25 + 10\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{125})(25 + 10\sqrt{5} + 5 - 5\sqrt{125})}\]
\[S = \sqrt{(30 + 10\sqrt{5} - 5\sqrt{125})(30 + 10\sqrt{5} - 5\sqrt{125})}\]
\[S = \sqrt{900 + 300\sqrt{5} + 100\cdot125 - 300\sqrt{5} - 100\sqrt{125} + 125\sqrt{125}}\]
\[S = \sqrt{775 + 100\cdot5\sqrt{5} - 100\sqrt{125} + 125\sqrt{125}}\]
\[S = \sqrt{775 + 500\sqrt{5} - 100\sqrt{5}\sqrt{25} + 125\sqrt{25}\sqrt{5}}\]
\[S = \sqrt{775 + 500\sqrt{5} - 100\sqrt{5}\cdot5 + 125\cdot5\sqrt{5}}\]
\[S = \sqrt{775 + 500\sqrt{5} - 500\sqrt{5} + 625\sqrt{5}}\]
\[S = \sqrt{775 + 625\sqrt{5}}\]

Таким образом, площадь треугольника АВС равна \(\sqrt{775 + 625\sqrt{5}}\).

Надеюсь, это понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!