Дано: Точки А(-4;-4), В (1;6), С (7;-2). 1) Определить длины сторон треугольника АВС; 2) Подтвердите, что треугольник

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1) Определение длин сторон треугольника АВС:
Для нахождения длин сторон треугольника АВС, нам необходимо использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула выглядит следующим образом:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Применим эту формулу для каждой стороны треугольника:
Сторона АВ: $d_{AB}=\sqrt{(1-(-4){)}^2+(6-(-4){)}^2}$
Сторона ВС: $d_{BC}=\sqrt{(7-1{)}^2+(-2-6{)}^2}$
Сторона СА: $d_{CA}=\sqrt{((-4)-7{)}^2+((-4)-(-2){)}^2}$

Вычисляя эти значения, получим:
Сторона АВ: $d_{AB}=\sqrt{5^2+{10}^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}$
Сторона ВС: $d_{BC}=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
Сторона СА: $d_{CA}=\sqrt{(-11{)}^2+(-2-(-4){)}^2}=\sqrt{121+4}=\sqrt{125}$

Итак, длины сторон треугольника АВС будут следующими:
Сторона АВ: $\sqrt{125}$
Сторона ВС: 10
Сторона СА: $\sqrt{125}$

2) Проверка на равнобедренность треугольника:
Чтобы доказать, что треугольник АВС является равнобедренным, нам необходимо убедиться, что две стороны треугольника имеют одинаковую длину. Из предыдущего шага мы установили, что длины сторон АВ и СА составляют $\sqrt{125}$. Таким образом, у нас есть две стороны значение $\sqrt{125}$, что говорит нам о том, что треугольник АВС является равнобедренным.

3) Вычисление площади треугольника:
Для вычисления площади треугольника АВС, мы можем использовать формулу Герона. Формула Герона выражается следующим образом:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p$ - полупериметр треугольника, $a,b,c$ - длины сторон треугольника.

Давайте найдем полупериметр треугольника АВС:
$$p=\frac{d_{AB}+d_{BC}+d_{CA}}{2}=\frac{\sqrt{125}+10+\sqrt{125}}{2}=\frac{2\sqrt{125}+10}{2}=\frac{\sqrt{500}+10}{2}=\frac{10\sqrt{5}+10}{2}=5\sqrt{5}+5$$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника АВС:
$$S=\sqrt{(5\sqrt{5}+5)(5\sqrt{5}+5-\sqrt{125})(5\sqrt{5}+5-\sqrt{125})(5\sqrt{5}+5-\sqrt{125})}$$

Далее, проводя вычисления, получим:
$$S=\sqrt{(5\sqrt{5}+5)(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})}$$
$$S=\sqrt{(5\sqrt{5}+5)(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})}$$
$$S=\sqrt{(5\sqrt{5}+5)(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})}$$
$$S=\sqrt{(5\sqrt{5}+5)(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})(5\sqrt{5}+5-5\sqrt{5})}$$
$$S=\sqrt{(25+10\sqrt{5}+5-5\sqrt{125})(25+10\sqrt{5}+5-5\sqrt{125})}$$
$$S=\sqrt{(30+10\sqrt{5}-5\sqrt{125})(30+10\sqrt{5}-5\sqrt{125})}$$
$$S=\sqrt{900+300\sqrt{5}+100\cdot 125-300\sqrt{5}-100\sqrt{125}+125\sqrt{125}}$$
$$S=\sqrt{775+100\cdot 5\sqrt{5}-100\sqrt{125}+125\sqrt{125}}$$
$$S=\sqrt{775+500\sqrt{5}-100\sqrt{5}\sqrt{25}+125\sqrt{25}\sqrt{5}}$$
$$S=\sqrt{775+500\sqrt{5}-100\sqrt{5}\cdot 5+125\cdot 5\sqrt{5}}$$
$$S=\sqrt{775+500\sqrt{5}-500\sqrt{5}+625\sqrt{5}}$$
$$S=\sqrt{775+625\sqrt{5}}$$

Таким образом, площадь треугольника АВС равна $\sqrt{775+625\sqrt{5}}$.

Надеюсь, это понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!