Каков объем тела, полученного при повороте прямоугольного треугольника с длиной одного катета, равной 4

Конечно! Чтобы найти объем тела, полученного при повороте прямоугольного треугольника вокруг более длинного катета, нам понадобятся некоторые формулы. Позвольте мне объяснить каждый шаг и предоставить подробное решение.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника
У нас есть прямоугольный треугольник с длинной одного катета равной 4 см и прилежащим углом, равным 60 градусов. Для начала, нам нужно найти площадь этого треугольника. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{{a \cdot b}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

В нашем случае, один катет равен 4 см, а другой катет - более длинный катет, длина которого нам неизвестна. Однако, мы можем найти длину более длинного катета с помощью теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Мы знаем, что угол прилежащий катета равен 60 градусов, поэтому можем применить тригонометрические соотношения для нахождения длины второго катета.

Тригонометрическое соотношение: \(b = a \cdot \tan(\theta)\), где \(a\) - известная длина катета, \(\tan(\theta)\) - тангенс угла.

В нашем случае, угол прилежащий катету равен 60 градусов, поэтому \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\).
Подставим значения: \(b = 4 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48}\) см.

Теперь, используем формулу площади треугольника: \(S = \frac{{a \cdot b}}{2}\), где \(a = 4\) см и \(b = \sqrt{48}\) см.
\(S = \frac{{4 \cdot \sqrt{48}}}{2} = 2 \sqrt{48} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}\) см².

Шаг 2: Найдем объем тела
Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем найти объем тела, полученного при повороте этого треугольника вокруг более длинного катета. Формула для объема этого тела: \(V = S \cdot d\), где \(V\) - объем, \(S\) - площадь треугольника, а \(d\) - длина более длинного катета.

В нашем случае, площадь треугольника равна \(8 \sqrt{3}\) см², а длина более длинного катета равна \(\sqrt{48}\) см.
Подставим значения: \(V = 8 \sqrt{3} \cdot \sqrt{48} = 8 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 32 \cdot 3 = 96\) см³.

Ответ: Объем тела, полученного при повороте прямоугольного треугольника с длиной одного катета, равной 4 см, и прилежащим углом, равным 60 градусов, вокруг более длинного катета, равен 96 см³.