Дано: f(x) = x^2 + 2x, если x ∈ [-4;1]; √x + 2, если x ∈ (1;4]. Постройте график данной функции. Найдите интервалы

Чтобы построить график функции, нам сначала нужно определить её основные характеристики. Начнём с определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает.

Для этого найдём производную функции f(x):
\[
f"(x) = (x^2 + 2x)" = 2x + 2
\]

Теперь решим уравнение \(f"(x) = 0\) для нахождения точек экстремума функции:
\[
2x + 2 = 0 \implies x = -1
\]

Мы получили, что функция имеет одну точку экстремума при \(x = -1\). Для определения, является ли эта точка максимумом или минимумом, нужно проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Рассмотрим интервалы, которые определяются значениями \(x\), где функции задана разными "правилами":
1. Для интервала \([-4, 1]\) функция представлена выражением \(f(x) = x^2 + 2x\).
2. Для интервала \((1, 4]\) функция представлена выражением \(f(x) = \sqrt{x} + 2\).

Теперь посчитаем значения функции в выбранных точках и найдём значения функции на промежутках, где функция задана разными правилами.

1. Для интервала \([-4, 1]\) подставим значения:
При \(x = -4\), \(f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8\)
При \(x = 1\), \(f(1) = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3\)

2. Для интервала \((1, 4]\) также найдём значения функции:
При \(x = 1.5\), \(f(1.5) = \sqrt{1.5} + 2 \approx 2.22 + 2 = 4.22\)
При \(x = 4\), \(f(4) = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\)

Теперь мы можем ответить на вопросы.

Интервалы, на которых функция возрастает и убывает:
Функция возрастает на интервале \((-4, -1)\) и убывает на интервале \((-1, 1)\).

Экстремумы функции (максимумы и минимумы):
Учитывая, что у нас есть только одна точка экстремума при \(x = -1\), мы можем сказать, что это точка минимума, так как функция переходит от убывания к возрастанию.

Наибольшее и наименьшее значения функции:
Наибольшее значение функции равно \(f(4) = 4\), а наименьшее значение функции равно \(f(-4) = 8\).

Интервалы, на которых функция сохраняет один и тот же знак:
Функция сохраняет положительный знак на интервале \((-4, -1)\) и \((1, 4]\), так как значения функции на этих интервалах положительны.

Чётность функции:
Функция \(f(x)\) не является чётной или нечётной, так как не выполняется условие симметрии \(\forall x\) и \(-x : f(x) = f(-x)\).

Нули функции и точки пересечения с осями \(x\):
Чтобы найти нули функции, нам нужно решить уравнение \(f(x) = 0\).
Для интервала \([-4, 1]\):
\[
x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x = 0, -2
\]
Для интервала \((1, 4]\):
\[
\sqrt{x} + 2 = 0 \implies \sqrt{x} = -2
\]
Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным числом, нет решений. То есть, функция не имеет нулей на интервале \((1, 4]\).

Таким образом, основные характеристики функции \(f(x)\) включают интервалы возрастания и убывания, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции, интервалы сохранения знака, чётность функции, нули функции и точки пересечения с осями \(x\). График функции будет отражать эти характеристики.