Дано: A(12 ; - 4), B(-8;-6), C(0 ;9). Найдите: а) координаты вектора BC; б) длину вектора AB; в) координаты точки

Хорошо, давайте решим каждую часть задачи по порядку:

а) Чтобы найти координаты вектора BC, мы должны вычислить разности между соответствующими координатами точек B и C. То есть,

\(x_{BC} = x_C - x_B = 0 - (-8) = 8\)

\(y_{BC} = y_C - y_B = 9 - (-6) = 15\)

Таким образом, координаты вектора BC равны (8; 15).

б) Для нахождения длины вектора AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

Подставляя значения из задания, получим:

\[d_{AB} = \sqrt{(-8 - 12)^2 + (-6 - (-4))^2} = \sqrt{(-20)^2 + (-2)^2} = \sqrt{400 + 4} = \sqrt{404}\]

Таким образом, длина вектора AB равна \(\sqrt{404}\).

в) Чтобы найти координаты точки, находящейся на середине отрезка AC, мы можем применить формулы для вычисления среднего значения координат:

\(x_{AC} = \frac{{x_A + x_C}}{2} = \frac{{12 + 0}}{2} = 6\)

\(y_{AC} = \frac{{y_A + y_C}}{2} = \frac{{-4 + 9}}{2} = \frac{{5}}{2} = 2.5\)

Таким образом, координаты точки, находящейся на середине отрезка AC, равны (6; 2.5).

г) Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно найти длины всех трех сторон и сложить их:

\[P_{ABC} = d_{AB} + d_{BC} + d_{AC}\]

Мы уже нашли длины векторов AB и BC в предыдущих пунктах. Найдем длину вектора AC:

\[d_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 12)^2 + (9 - (-4))^2} = \sqrt{(-12)^2 + 13^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313}\]

Теперь, сложим все три длины:

\[P_{ABC} = \sqrt{404} + \sqrt{313} + \sqrt{404} = \sqrt{404} + \sqrt{313} + \sqrt{313} = 2\sqrt{404} + 2\sqrt{313}\]

Таким образом, периметр треугольника ABC равен \(2\sqrt{404} + 2\sqrt{313}\).

д) Чтобы найти длину медианы BM, мы можем воспользоваться теоремой медианы треугольника, которая утверждает, что медиана делит другую сторону пополам. То есть, длина BM будет равна половине длины стороны AC:

\[BM = \frac{d_{AC}}{2} = \frac{\sqrt{313}}{2}\]

Таким образом, длина медианы BM равна \(\frac{\sqrt{313}}{2}\).

Надеюсь, это решение и пояснения помогли вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.