ДАМ 50 Signs of triangle congruence : K-3 Variant 1. 1°. Triangles ABC and PMK are congruent. It is known that AB

1°. Для решения этой задачи о треугольной сходстве треугольников ABC и PMK, мы можем использовать несколько известных фактов.

Во-первых, по определению сходства треугольников, мы знаем, что углы треугольников ABC и PMK соответственно равны.

Таким образом, у нас есть ∠B = ∠P, ∠A = ∠M и ∠C = ∠K.

Теперь давайте рассмотрим стороны. Мы знаем, что AB = 5 см и BC = 10 см.

Так как треугольники ABC и PMK сходственные, это означает, что соответствующие стороны также сходственные.

Таким образом, мы можем сказать, что стороны AC и PM сходственны, стороны BC и PK сходственны, а стороны AB и MK сходственны.

Однако, нам не известны значения этих сторон.

Для решения этой проблемы, мы можем использовать соотношение длин сторон в сходственных треугольниках.

В данной задаче, мы знаем длины сторон AB и BC треугольника ABC, которые равны 5 см и 10 см соответственно.

Используя соотношение длин сторон в соответственных треугольниках, мы можем записать:

\[\frac{AB}{PM} = \frac{BC}{PK} = \frac{AC}{PK}\]

Теперь, зная значения AB и BC, мы можем записать:

\[\frac{5}{PM} = \frac{10}{PK} = \frac{AC}{PK}\]

Отсюда, мы можем найти значения сторон треугольника PMK.

Для нахождения значений углов треугольника PMK, мы можем воспользоваться фактом, что сумма углов треугольника равна 180°.

Мы уже знаем значение угла ∠C, которое равно 36°.

Так как треугольник PMK сходственный треугольнику ABC, угол ∠K будет равен углу ∠C.

Таким образом, у нас есть ∠K = 36°.

Кроме того, мы знаем, что сумма углов треугольника PMK равна 180°.

Так как мы уже знаем два угла (∠C и ∠K), мы можем найти третий угол, вычитая сумму из известного угла 180°.

Другими словами,

\[\angle P = 180° - \angle K - \angle C = 180° - 36° - 36° = 108°\]

Таким образом, мы нашли все соответствующие стороны и углы для треугольника PMK в задаче.

2°. Для доказательства равенства PM = KA в треугольнике PMKA, мы можем использовать несколько фактов.

Во-первых, мы знаем, что точка O является серединой отрезков AM и KR. Таким образом, мы можем сказать, что AO = MO и KO = OR.

Теперь, мы можем рассмотреть треугольники PMO и KAO.

Мы уже знаем, что MO = AO и ∠OMP = ∠AKO, так как точка O является серединой отрезков AM и KR.

Также, по условию задачи, треугольники BCD и AKE сходственные, что означает, что стороны BC и KE сходственны, и стороны CD и AE сходственны.

Таким образом, мы можем сказать, что ∠CMP = ∠AKP и ∠MCO = ∠KAO.

По определению сходства треугольников, мы можем сказать, что стороны, соответствующие равным углам, также равны.

Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{MO}{OM} = \frac{AO}{KO} = \frac{PM}{KA}\]

Поскольку MO = AO и KO = OR, мы можем записать:

\[\frac{AO}{KO} = \frac{AO}{OR} = \frac{PM}{KA}\]

Отсюда следует, что PM = KA. Таким образом, мы доказали, что PM = KA в треугольнике PMKA.

3°. Для доказательства равенства AK = VM в треугольнике AKV, мы можем использовать несколько фактов.

Мы уже знаем, что точки M и K являются серединами сторон AC и BC треугольника ABC.

Это означает, что AM = MC и BK = KC.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AMK и CKV.

Мы уже знаем, что AM = MC и BK = KC, так как M и K являются серединами сторон AC и BC.

Также, по условию задачи, мы можем сказать, что треугольники ABC и AKV сходственные. Это означает, что углы, соответствующие равным сторонам, также равны.

Таким образом, мы можем сказать, что ∠VAK = ∠MKA и ∠ACM = ∠VKC.

По определению сходства треугольников, мы можем сказать, что стороны, соответствующие равным углам, также равны.

Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{AK}{VK} = \frac{MK}{CK} = \frac{AM}{CM}\]

Поскольку AM = MC и MK = CK, мы можем записать:

\[\frac{AM}{CM} = \frac{AM}{MC} = \frac{AK}{VK}\]

Отсюда следует, что AK = VK. Таким образом, мы доказали, что AK = VM в треугольнике AKV.

Таким образом, мы решили задачу и доказали все требуемые утверждения.