Control work No.3 Variant 1 A In question 1. In figure AB || CD. a) Prove that AO: OS = BO : OD. b) Find AB if OD

Контрольная работа № 3 Вариант 1 Задача A

1. Вопрос 1:
Дано: Фигуры AB и CD параллельны (AB || CD).
Требуется:
a) Доказать, что AO: OS = BO : OD.
b) Найти значение AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.

a) Доказательство соотношения AO: OS = BO : OD:
Поскольку AB || CD, у нас есть две пары соответственных углов:
\(\angle AOD\) и \(\angle BOS\) (вертикальные углы) и \(\angle ABO\) и \(\angle ODC\) (параллельные углы).
Для доказательства соотношения AO: OS = BO : OD используем свойство подобных треугольников.
По свойству вертикальных углов \(\angle AOD = \angle BOS\) и по свойству параллельных углов \(\angle ABO = \angle ODC\).
Треугольники AOD и BOS подобны, и треугольники ABO и COD также подобны. Значит, отношения сторон треугольников должны быть одинаковы:
\(\frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OS}\).

b) Нахождение значения AB:
Используем соотношение AO: OS = BO : OD, которое мы только что доказали.
Подставляя значения, имеем:
\(\frac{AO}{9} = \frac{15}{OS}\).
Переставляем переменные и получаем:
\(AO \cdot OS = 9 \cdot 15\).
Теперь рассмотрим отношение треугольников ABO и COD.
Воспользуемся свойством подобных треугольников, что говорит нам, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон.
Также известно, что площадь треугольника равна полупроизведению длины основания на высоту, поэтому:
\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \left(\frac{AB}{KM}\right)^2\).

Теперь можем приступить к решению второй части задачи.

2. Вопрос 2:
Дано: AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 16 см, KM = 10 см, MN = 15 см, NK = ?
Требуется: Найти отношение площадей треугольников ABC и KMN.

У нас уже есть одна сторона AB и две стороны BC и AC.
Если мы найдем высоту треугольника ABC, то сможем найти его площадь и отношение площадей треугольников ABC и KMN.

Сначала найдем высоту треугольника ABC.
Можно использовать формулу для нахождения высоты треугольника, зная длины сторон (BC, AC и AB):
\(h_{ABC} = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC}\).

Теперь, когда у нас есть высота треугольника ABC, найдем его площадь, используя формулу:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{ABC}\).

Теперь у нас есть площадь треугольника ABC.
Можем найти площадь треугольника KMN, используя формулу:
\(S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot NK\).

Теперь, когда у нас есть обе площади, можем найти отношение:
\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \left(\frac{AB}{KM}\right)^2\).

Подставим значения и решим полученное выражение.

Помните, что важно всегда проверять ваши решения и ответы, чтобы убедиться, что они логичны и соответствуют условию задачи.